ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด) เป็นหนึ่งในตัวบ่งปริมาณ ซึ่งใช้แทนคำว่า "สำหรับ...ใดๆ" หรือ "ฟอร์ออล" หมายความว่า ฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆ สามารถใช้ได้กับทุกๆตัวในโดเมน หรือก็คือ ฟังก์ชันของประพจน์นั้นมีความสัมพันธ์กับสมาชิกทุกตัวในโดเมนนั้นๆ ซึ่งเงื่อนไขที่ใช้ ต้องเป็นจริงกับสมาชิกทุกตัว (เนื่องจากเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด)

การจะใช้แทนตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดนี้ จะใช้สัญลักษณ์การดำเนินการ A แบบกลับหัว (∀) เมื่อใช้กับค่าใดค่าหนึ่ง จะเรียกว่า มี...ทั้งหมด (ฟอร์ออล...) ("∀x", "∀(x)"หรือบางทีเขียน "(x)" แบบโดดๆ) ตัวบ่งปริมาณทั้งหมดนี้ ต่างจากตัวบ่งปริมาณบางตัว (มี...บางตัว) ซึ่งจะใช้เฉพาะสมาชิกในโดเมนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งตัวเท่านั้น (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)

รหัสของสัญลักษณ์นี้คือ U+2200 ∀ FOR ALL (HTML ∀ · ∀ ·)

สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

พื้นฐาน[แก้]

ให้

และ และ ฯลฯ

ประโยคนี้ เป็นแบบการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์ เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำๆ แต่อย่างไรก็ดี "ฯลฯ" ไม่สามารถเขียนแบบตรรกศาสตร์มาตรฐานได้ จากประโยคดังกล่าวข้างต้น อาจนิยามได้อีกทีว่า :

ประโยคข้างต้น ใช้ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดเข้ามาช่วย

จากรูปประโยคข้างต้น จะมีความแม่นยำกว่าอันที่หนึ่ง ในขณะที่ "ฯลฯ" มักจะรวมจำนวนธรรมชาติด้วย และไม่ได้บอกอะไรเพิ่ม ซึ่งจะมีความแม่นยำน้อย โดยตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดตัวนี้ จะเจาะจงถึงจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะ

เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนธรรมชาติแล้ว เงื่อนไข "" จะเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ หรือในทางตรงกันข้าม ก็คือ

จะเป็นเท็จ ถ้า n ถูกแทนที่ด้วย 1 เงื่อนไขก็จะกลายเป็น ซึ่งเป็นเท็จ จำนวนธรรมชาติส่วนใหญ่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ก็จริง แต่แค่มีตัวใดตัวหนึ่งมาทำให้เงื่อนไขนี้เป็นเท็จ (สำหรับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด) ก็มากพอที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นเท็จ

แต่ในทางตรงกันข้าม หากเงื่อนไขข้างต้น ใช้กับจำนวนประกอบ จะกลายเป็นจริงทันที ซึ่งไม่ว่า n ใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ (ของจำนวนประกอบ) จะใช้ได้ทุกตัว อนึ่ง เอกภพสัมพัทธ์จะเป็นตัวจำกัดจำนวนสมาชิกที่จะใช้กับเงื่อนไขนั้นๆ จึงต้องใช้เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์เข้ามาช่วย :

สมมูลกับ

เพิ่มเติม[แก้]

ในตรรกศาสตร์แบบ First-Order Logic สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ (ตัว "A" กลับหัวในฟอนต์ตระกูล Sans-Seri, ยูนิโคด U+2200) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

เช่น คือ และ เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว:

เป็นประโยค (ซึ่งเป็นเท็จ):

เทียบได้กับ (n เป็นจำนวนประกอบ) แล้ว

เป็นประโยค (ซึ่งเป็นจริง)

เนื่องจาก "n เป็นจำนวนประกอบ" ก็ครอบคลุมถึงว่า n ต้องเป็นจำนวนธรรมชาติไปแล้ว เราสามารถลดรูปได้ :

หรืออาจใช้รูปแบบอื่นๆในการแทนตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เช่น:

เว้นเสียแต่ว่าจะกำหนดให้ใช้เฉพาะ A กลับด้านเท่านั้น

สมบัติ[แก้]

การนิเสธ[แก้]

ฟังก์ชันประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณก็นับเป็นประโยค ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน

ตัวอย่างเช่น ถ้า P(x) เป็นประพจน์ "x แต่งงานแล้ว" แล้วเอกภพสัมพัทธ์คือประโยคเปิดว่า x เป็นหนึ่งในมนุษย์ทุกคน ใช้ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

ให้ x เป็นมนุษย์คนใดๆ ที่แต่งงานแล้ว

จะได้ :

ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้ เป็นเท็จอย่างแน่นอน ซึ่งเพื่อให้ประโยคนี้เป็นจริง ไม่ขัดต่อเงื่อนไข จะเพิ่มเข้าไปอีกว่า :

ให้ x ไม่เป็นมนุษย์คนใดๆ ที่แต่งงานแล้ว

ประโยคดังกล่าว ไม่เป็นจริงต่อสมาชิกทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวซึ่งขัดกับประพจน์ที่ทำให้เป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนหรือยังไม่ได้แต่งงาน"

ซึ่งโดยปกติแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว เขียนได้ในรูป :

ซึ่งตัวตรงข้ามของประพจน์ "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") คือ "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน")

ตัวเชื่อมอื่นๆ[แก้]

ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ , , , และ ↚ เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :

ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น , , , และ ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป

กฎอุดมคติ[แก้]

กฎอุดมคติเป็นกฎซึ่งใช้พิสูจน์ขั้นตอนจากสมมุติฐานสู่การสรุปออกมา มีกฎอุดมคติอยู่หลายกฎ ซึ่งนำไปใช้กับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

ตัวบ่งจำเพาะแบบทั้งหมดกล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงต่อสมาชิกเจาะจง (Arbitary Element) ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :

เมื่อ c เป็นสมาชิกเจาะจงในเอกภพสัมพัทธ์

ตัวบ่งทั่วไปแบบทั้งหมดกล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกเจาะจง (Arbitary Element) ใดๆ หาก c แทนตัวเจาะจง จะเขียนได้ในรูป :

สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกเจาะจงโดยสิ้นเชิง หรือ หากประพจน์ไม่เป็นไปตามตรรกะ จะได้ว่า :

หาก c ไม่ใช่ตัวเจาะจง แล้วเป็นเพียงสมาชิกเฉพาะ (Specific Element) ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(c) จะเป็นเพียงตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวของฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆ

เซตว่าง[แก้]

โดยปกติแล้ว รูปแบบ นั้นจะเป็นจริงเสมอ หากไม่ขึ้นกับตัว P(x) : ดูที่ค่าความจริงว่าง

การปิดแบบทั้งหมด[แก้]

การปิดแบบทั้งหมด ของตัว φ เป็นรูปแบบที่ไม่มีตัวแปรอิสระจากการเติมตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดให้แก่ตัวแปรอิสระใดๆ ใน φ ตัวอย่างเช่น การปิดแบบทั้งหมดของ

คือ

จุดเชื่อม[แก้]

ในทฤษฎีประเภท และทฤษฎีทอพอโลยีพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นจุดเชื่อม (Adjoint) ด้านขวาของฟังก์เตอร์ (Functor) ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ภาพผกผันฟังก์เตอร์ของฟังก์ชันระหว่างสองเซต คล้ายกัน ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นจุดเชื่อมด้านซ้าย[1]

ให้ เป็นเซตใดๆ แทนพาวเวอร์เซต

สำหรับฟังก์ชัน ใดๆ ในระหว่างเซต และ จะมีภาพผกผันฟังก์เตอร์ ระหว่างพาวเวอร์เซต ที่ใช้ซับเซตของโคโดเมนของ x คืนให้ซับเซตของโคโดเมนของตัวเอง จุดเชื่อมด้านซ้ายของฟังก์เตอร์นี้คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว () ส่วนจุดเชื่อมด้านซ้ายเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทุกตัว ()

ซึ่ง เป็นฟังก์เตอร์นั้นๆ ในแต่ละซับเซต แจกแจงให้ซับเซต ซึ่งถูกแจกแจงโดย

เมื่อ อยู่ในอิมเมจของ ซึ่งอยู่ภายใต้ ในทำนองเดียงกัน หากเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นฟังก์เตอร์นั้นๆ ในแต่ละซับเซต แจกแจงให้ซับเซต ซึ่งถูกแจกแจงโดย

เมื่อ เป็นพรีอิมเมจภายใต้ ซึ่งอยู่ใน

ในรูปอีกตัวหนึ่งที่คล้ายกับตัวบ่งปริมาณที่ใช้ในตรรกศาสตร์การจัดลำดับ (First-Order Logic) ซึ่งเป็นตัวที่มีอยู่โดยการนำฟังก์ชัน f มาเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ ดังนั้น เป็นเซตสมาชิกสองซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริงและเท็จ ซับเซต S เป็นซับเซตซึ่งเป็นฟังก์ชันค่าของบูล และ

จะเป็นจริง หาก ไม่ใช่เซตว่าง และ

จะเป็นเท็จ หาก ไม่ใช่

ตัวบ่งปริมาณยังถูกใช้ในเรื่อง Presheaf

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification#cite_note-3