ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ทฤษฎีเกม"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม

ในบรรทัด

รุ่นแก้ไขเมื่อ 23:04, 12 กรกฎาคม 2562

ทฤษฎีเกม คือการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับการมีปฏิสัมพันธ์เชิงกลยุทธ์ระหว่างผู้ที่ตัดสินใจอย่างมีเหตุมีผล ทฤษฎีเกมมีการประยุกต์ใช้ในทางสังคมศาสตร์ทุกศาสตร์ รวมทั้งในทางตรรกศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในระดับดั้งเดิม ทฤษฎีเกมศึกษาเกมที่มีผลรวมเป็นศูนย์ ซึ่งหมายถึงเกมที่ผลได้ของคนหนึ่งจะนำไปสู่ผลเสียของอีกคนหนึ่ง ในปัจจุบัน ทฤษฎีเกมได้ประยุกต์ใช้ในศาสตร์หลายแขนงของความสัมพันธ์ในทางพฤติกรรม และกลายเป็นคำนิยามที่ครอบคลุมสำหรับศาสตร์ที่ศึกษาการตัดสินใจอย่างมีตรรกะในมนุษย์ สัตว์ และคอมพิวเตอร์

ทฤษฎีเกมสมัยใหม่เริ่มต้นเมื่อมีแนวคิดของการปรากฏซึ่งดุลยภาพของกลยุทธ์แบบผสมในเกมที่ผลได้รวมเป็นศูนย์ระหว่างสองคนซึ่งพิสูจน์โดยจอห์น ฟอน นอยมันน์ การพิสูจน์ดั้งเดิมของฟอน นอยมันน์ใช้ทฤษฎีบทจุดคงที่ของบราวเวอร์ที่สัมพันธ์กับเซตเว้าแบบต่อเนื่อง ซึ่งกลายเป็นวิธีมาตรฐานในทฤษฎีเกมและคณิตเศรษฐศาสตร์ งานของเขา และตามมาด้วยหนังสือในปี 1944 ที่ชื่อ Theory of Games and Economic Behavior ที่แต่งร่วมกับออสการ์ มอร์เกินสเติร์น ซึ่งศึกษาเกมร่วมมือกันของผู้เล่นหลายคน ในฉบับพิมพ์ครั้งที่สองของหนังสือเล่มนี้ได้นำเสนอสัจพจน์ว่าด้วยทฤษฎีออรถประโยชน์คาดหวัง ซึ่งทำให้นักคณิตสถิติศาสตร์และนักเศรษฐศาสตร์สามารถจัดการกับปัญหาการตัดสินใจในความไม่แน่นอนได้

ทฤษฎีเกมได้ถูกพัฒนาเป็นอย่างมากในทศวรรษที่ 1950 โดยนักวิชาการหลายท่าน และมันได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในชีววิทยาในช่วงทศวรรษที่ 1970 แม้ว่าอาจจะเริ่มมีการพัฒนามาตั้งแต่ในช่วงทศวรรษที่ 1930 มาก่อนหน้านี้แล้ว ทฤษฎีเกมได้รับการยอมรับว่าเป็นเครื่องมือที่สำคัญในหลายๆ สาขา โดยในปี 2014 รางวัลโนเบลในสาขาเศรษฐศาสตร์ได้มอบรางวัลให้กับนักทฤษฎีเกมที่ชื่อ ฌอง ธีโรล และมีนักทฤษฎีเกมถึงสิบเอ็ดคนที่ได้รับรางวัลในสาขานี้ และจอห์น เมนาร์ด สมิธ ได้รางวัลคราฟูลด์จากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีเกมในชีววิทยา

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีเกม

ในทางทฤษฎีเกม "เกม" หมายถึงสถานการณ์ใดๆ ที่มีผู้ตัดสินใจตั้งแต่สองฝ่ายขึ้นไป โดยผู้ตัดสินใจแต่ละฝ่ายมีเป้าหมายของตนเองและผลลัพธ์ที่แต่ละฝ่ายได้รับขึ้นอยู่กับการตัดสินใจของทุกฝ่าย^[1]^: 1-2 ผู้ตัดสินใจแต่ละฝ่ายในเกมเรียกว่า "ผู้เล่น" โดยผู้เล่นนี้เป็นองค์ประกอบพื้นฐานของเกมในทฤษฎีเกมทุกประเภท^[2]^: 2 ทฤษฎีเกมตั้งข้อสมมติว่าผู้เล่นทุกฝ่ายตัดสินใจ "อย่างมีเหตุผล" ซึ่งหมายถึงการที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายมีเป้าหมายความต้องการของตัวเองที่ชัดเจนซึ่งมักแสดงในรูปของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ และตัดสินใจโดยเลือกทางเลือกที่ทำให้ตัวเองได้รับอรรถประโยชน์สูงสุด^[1]^: 2^[2]^: 4 ทฤษฎีเกมจึงมีความคล้ายกันกับทฤษฎีการตัดสินใจที่ศึกษาการตัดสินใจของผู้ตัดสินใจรายเดียว แต่แตกต่างกันที่ทฤษฎีเกมศึกษาการตัดสินใจในสถานการณ์ที่การตัดสินใจหลายฝ่ายส่งผลซึ่งกันและกัน^[1]^: 1 ในการประยุกต์ทฤษฎีเกมในสาขาต่างๆ ผู้เล่นในเกมอาจใช้หมายถึงปัจเจกบุคคล แต่ก็อาจใช้หมายถึงกลุ่มบุคคล เช่น บริษัท รัฐบาล ไปจนถึงสิ่งอื่นๆ ที่ไม่ใช่มนุษย์ เช่น สัตว์ พืช^[3] พระเป็นเจ้า^[4] เป็นต้น

การวิเคราะห์ทางทฤษฎีเกมมักกำหนดว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบฟอน นอยมันน์–มอร์เกินสเติร์น ซึ่งมีลักษณะสำคัญคือ หากว่าผลลัพธ์ของการตัดสินใจมีความเป็นไปได้หลายทางและไม่แน่นอนว่าจะได้รับผลลัพธ์ใด ผู้เล่นนั้นจะตัดสินใจในลักษณะที่ให้ได้ค่าคาดหมายของฟังก์ชันอรรถประโยชน์นั้นสูงสุด^[2]^: 5^[5]^: 9

ทฤษฎีเกมแบบร่วมมือและแบบไม่ร่วมมือ

ทฤษฎีเกมสามารถแบ่งออกได้เป็นสองสาขาใหญ่ๆ ได้แก่ ทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ (cooperative game theory) และทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือ (non-cooperative game theory) แต่ละสาขาของทฤษฎีเกมมีแนวทางการศึกษาที่แตกต่างกันในด้านรูปแบบการนิยามเกมและแนวคิดที่ใช้ในการวิเคราะห์ การจำแนกทฤษฎีสองแบบนี้มีที่มาเริ่มแรกจากบทความของจอห์น แนช ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1951^[6]^[7]^: 1

ในสาขาทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือ นิยามของเกมจะระบุทางเลือกทั้งหมดที่ผู้เล่นแต่ละฝ่ายสามารถตัดสินใจเลือกได้ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายตัดสินใจโดยอิสระจากกันและไม่สามารถร่วมกันทำข้อตกลงอื่นๆ ให้มีผลบังคับใช้ได้ ในทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ จะสมมติว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายสามารถทำข้อตกลงใดๆ กันก็ได้ โดยจะไม่ให้ความสำคัญกับขั้นตอนการเจราจาตกลงกันระหว่างผู้เล่น แต่ให้ความสำคัญกับการวิเคราะห์กลุ่มผู้เล่นว่าผู้เล่นจะมีการจับกลุ่มร่วมกันอย่างไรและจะมีการแบ่งผลประโยชน์กันอย่างไร^[8] คำว่าเกมแบบไม่ร่วมมือในที่นี้ไม่ได้หมายความว่าทฤษฎีเกมชนิดนี้ไม่สามารถใช้จำลองสถานการณ์ที่มีการ "ร่วมมือ" กันในความหมายทั่วไปว่าการตกลงกระทำเพื่อให้ได้ประโยชน์ร่วมกัน แต่การจำลองสถานการณ์ความร่วมมือหรือการเจรจาต่อรองใดๆ จะต้องระบุทางเลือกและขั้นตอนเหล่านั้นในเกมอย่างชัดเจน และข้อตกลงเหล่านั้นจะไม่มีผลบังคับใช้นอกเหนือจากตามกระบวนการที่ระบุอย่างชัดเจนในเกม^[7]^: 4^[9]

รูปแบบการนิยามเกม

เกมแบบไม่ร่วมมือ

เกมรูปแบบกลยุทธ์

เกมรูปแบบกลยุทธ์ (strategic-form game) หรือเกมรูปแบบปรกติ (normal-form game) ประกอบไปด้วยการระบุผู้เล่นภายในเกม ทางเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่าย เรียกในทางทฤษฎีเกมว่ากลยุทธ์ และฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของผู้เล่นแต่ละฝ่าย

ในกรณีที่เกมมีผู้เล่นสองฝ่าย และแต่ละฝ่ายมีทางเลือกจำนวนจำกัด เกมนั้นสามารถเขียนออกมาได้ในรูปของตารางโดยให้แต่ละแถวในตารางหมายถึงทางเลือกของผู้เล่นฝ่ายหนึ่ง และแต่ละสดมภ์หมายถึงทางเลือกของผู้เล่นอีกฝ่ายหนึ่ง ช่องของตารางแต่ละช่องระบุอรรถประโยชน์ของผู้เล่นสองฝ่ายในแต่ละกรณี^[10]^: 5 ดังตัวอย่างการนำเสนอเกมเป่ายิ้งฉุบในรูปแบบตารางนี้^[5]^: 78


	ค้อน	กรรไกร	กระดาษ
ค้อน	0,0	1,-1	-1,1
กรรไกร	-1,1	0,0	1,-1
กระดาษ	1,-1	-1,1	0,0

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนทางเลือกของผู้เล่นไม่จำเป็นต้องมีจำนวนจำกัด (ตัวอย่างกรณีที่ผู้เล่นมีทางเลือกไม่จำกัดคือ ผู้ขายสินค้าสามารถตั้งราคาขายสินค้าเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้) หากว่าทางเลือกของผู้เล่นทุกฝ่ายมีจำนวนจำกัด ทางเลือกในกรณีนี้จะเรียกว่าเป็นกลยุทธ์แท้ เกมกลยุทธ์แท้สามารถขยายให้ผู้เล่นสามารถเลือกกำหนดความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกทางเลือกแต่ละทาง เรียกว่ากลยุทธ์ผสม ตัวอย่างเข่น ในเกมเป่ายิ้งฉุบข้างต้น จอห์น ฟอน นอยมันน์ได้เขียนถึงการใช้กลยุทธ์ผสมว่า "สามัญสำนึกจะบอกได้ว่าวิธีที่ดีที่จะเล่นเกมนี้คือการเลือกทางเลือกทั้งสามทางด้วยความน่าจะเป็นแต่ละทางเท่ากับ 1/3"^[11]^: 144

นิยามของเกมรูปแบบกลยุทธ์สามารถเขียนได้ว่า เกมรูปแบบกลยุทธ์ประกอบไปด้วย^[5]^: 77

เซตผู้เล่น $N=\{1,2,\dots ,n\}$
เซตกลยุทธ์ $S_{i}$ ของผู้เล่น $i\in N$ แต่ละฝ่าย โดยให้ $S$ เป็นสัญลักษณ์หมายถึงผลคูณคาร์ทีเซียน $S_{1}\times S_{2}\times \dots \times S_{n}$
ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ $u_{i}\colon S\to \mathbb {R}$ ที่กำหนดความสัมพันธ์จาก $s=(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})$ ไปยังค่าอรรถประโยชน์ของผู้เล่น $i\in N$ แต่ละฝ่าย ในที่นี้ $s$ เรียกว่าเป็นโพรไฟล์กลยุทธ์ (strategy profile)

ในกรณีที่ $S_{i}$ เป็นเซตกลยุทธ์แท้ เซตกลยุทธ์ผสม $\Sigma _{i}$ สามารถนิยามเป็นเซตของการแจกแจงความน่าจะเป็นของกลยุทธ์แท้ได้ว่า^[5]^: 146 $\Sigma _{i}=\left\{\sigma _{i}\colon S_{i}\to [0,1]\colon \sum _{s_{i}inS_{i}}\sigma _{i}(s_{i})=1\right\}$

เกมรูปแบบขยาย

เกมรูปแบบขยาย (extensive-form game) เป็นรูปแบบการบรรยายลักษณะของเกมที่ระบุลำดับการตัดสินใจก่อนหลังของผู้เล่นแต่ละฝ่ายอย่างชัดเจน โดยประกอบไปด้วย (1) ผู้เล่น (2) ลำดับการตัดสินใจ (3) ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ซึ่งขึ้นกับการตัดสินใจทั้งหมดของผู้เล่นทุกฝ่าย (4) ทางเลือกของผู้เล่นในแต่ละจุดที่ตัดสินใจ (5) สิ่งที่ผู้เล่นทราบในแต่ละจุดที่ตัดสินใจ (6) การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ภายนอกที่มีลักษณะสุ่ม^[10]^: 77

เกมรูปแบบขยายสามารถเขียนได้รูปของกราฟแบบต้นไม้ที่จุดยอดแต่ละจุด (ยกเว้นจุดยอดปลายทาง) ระบุว่าผู้เล่นฝ่ายใดตัดสินใจ และจุดปลายทางระบุว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายได้รับอรรถประโยชน์เท่าใด^[12] อาจกล่าวได้ว่าเกมรูปแบบขยาย มีลักษณะเหมือนต้นไม้ตัดสินใจที่มีผู้ตัดสินใจหลายฝ่าย^[10]^: 67

เกมในรูปแบบขยายสามารถใช้บรรยายสถานการณ์ที่ผู้เล่นไม่ทราบอย่างครบถ้วนว่าการตัดสินใจต่างๆ ในจุดก่อนหน้าเป็นอย่างไร โดยการแบ่งจุดตัดสินใจทั้งหมดของผู้เล่นแต่ละฝ่ายออกเป็นเซตสารสนเทศ หากว่าเซตสารสนเทศมีสมาชิกมากกว่าหนึ่งจุด หมายความว่าหากเกมดำเนินไปถึงจุดใดจุดหนึ่งในเซตนั้น ผู้เล่นรายนั้นจะไม่ทราบแน่ชัดว่ากำลังตัดสินใจที่จุดใด ทุกจุดตัดสินใจในเซตสารสนเทศเดียวกันจะมีทางเลือกแบบเดียวกัน เกมที่ผู้เล่นรู้แน่ชัดว่ากำลังตัดสินใจที่จุดใด เรียกว่าเกมที่มีสารสนเทศสมบูรณ์ (perfect information) ซึ่งหมายความว่าเซตสารสนเทศทุกเซตจะมีสมาชิกเพียงจุดยอดเดียว^[5]^: 55

เกมในรูปแบบขยายที่สารสนเทศสมบูรณ์
เกมในรูปแบบขยายที่สารสนเทศไม่สมบูรณ์ เส้นประหมายความว่าจุดยอดสองจุดอยู่ในเซตสารสนเทศเดียวกัน

เกมรูปแบบขยายยังสามารถใช้ระบุสถานการณ์ที่มีปัจจัยภายนอกที่มีลักษณะของความเสี่ยงหรือการสุ่มด้วย (เช่น การทอยลูกเต๋า) โดยใช้วิธีการกำหนดจุดยอดบางจุดว่าเป็นของผู้เล่นที่เรียกว่า "ธรรมชาติ" ทางเลือกจากจุดของธรรมชาติคือความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นในสถานการณ์นั้น และกำหนดความน่าจะเป็นที่แต่ละทางจะเกิดขึ้น^[5]^: 50

โดยสรุปแล้ว การนิยามเกมรูปแบบขยาย ประกอบไปด้วย^[10]^: 77

เซตผู้เล่น
ลำดับการตัดสินใจ
ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ซึ่งขึ้นกับการตัดสินใจทั้งหมดของผู้เล่นทุกฝ่าย
ทางเลือกของผู้เล่นในแต่ละจุดที่ตัดสินใจ
สิ่งที่ผู้เล่นทราบในแต่ละจุดที่ตัดสินใจ
การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ภายนอกที่มีลักษณะสุ่ม

เกมในรูปแบบขยาย สามารถเขียนออกมาเป็นเกมรูปแบบกลยุทธ์ได้ โดยนิยามทางเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่ายให้ครอบคลุมทุกรูปแบบการตัดสินใจที่เป็นไปได้ การนิยามทางเลือกในรูปแบบนี้ เปรียบได้กับการที่ผู้เล่นตัดสินใจล่วงหน้าก่อนเริ่มเกมว่าจะตัดสินใจอย่างไรบ้างที่แต่ละจุดที่ต้องตัดสินใจ^[10]^: 85 จากตัวอย่างแผนภาพต้นไม้เกมที่สารสนเทศสมบูรณ์ ผู้เล่น 2 มีจุดที่ต้องตัดสินใจสองจุด คือตัดสินใจหลังจากผู้เล่น 1 เลือก O และตัดสินใจว่าหลังจากผู้เล่น 1 เลือก F หากเขียนเป็นเกมแบบกลยุทธ์ ผู้เล่น 2 จะมีทางเลือกสี่ทาง คือ (Oo,Fo), (Oo,Ff), (Of,Fo) และ (Of, Ff) ซึ่งเขียนออกมาเป็นเกมรูปแบบกลยุทธ์ได้ตามตารางนี้


	(Oo,Fo)	(Oo,Ff)	(Of,Fo)	(Of,Ff)
O	3,2	3,2	0,0	0,0
F	0,0	0,0	2,3	2,3

เกมแบบร่วมมือ

การนิยามทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ ไม่ได้นิยามในลักษณะทางเลือกในการตัดสินใจเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่าย แต่เป็นฟังก์ชันของกลุ่มผู้เล่น (coalition) โดยค่าของฟังก์ชันนั้นคือค่าอรรถประโยชน์หากว่าผู้เล่นในกลุ่มนั้นตกลงร่วมมือกัน การนิยามเกมในลักษณะของทฤษฎีเกมแบบร่วมมือเรียกโดยทั่วไปว่าเป็นเกมรูปแบบการจัดกลุ่ม (coalitional form) เกมลักษณะนี้แบ่งออกได้เป็นสองประเภทหลัก คือ เกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ (transferable utility) และเกมที่ไม่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ (non-transferable utility)

ในเกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ การจับกลุ่มผู้เล่นแต่ละกลุ่มจะมีค่าอรรถประโยชน์ร่วมกันหนึ่งค่า ซึ่งสมาชิกในกลุ่มนั้นๆ จะแบ่งกันอย่างไรก็ได้ กล่าวคือ อรรถประโยชน์มีลักษณะที่ยกให้กันในอัตราส่วนคงที่ เกมในลักษณะนี้สามารถเปรียบได้ว่าอรรถประโยชน์มีลักษณะเหมือนมูลค่าที่เป็นเงินตรา^[13] นิยามเกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ ประกอบไปด้วย เซตผู้เล่น $N$ และฟังก์ชันจำนวนจริงที่ระบุค่า $v(S)$ สำหรับทุกเซตย่อย $S\subseteq N$ โดยแต่ละเซตย่อย $S$ ที่ไม่เป็นเซตว่างนี้ เรียกว่าเป็นกลุ่มผู้เล่น (coalition) โดยทั่วไปจะกำหนดให้ค่าของเซตว่าง $v(\emptyset )$ เท่ากับศูนย์

เกมที่ไม่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ จะไม่สมมติว่าอรรถประโยชน์สามารถยกให้กันได้ในลักษณะหนึ่งต่อหนึ่ง โดยการนิยามเกมประเภทนี้จะระบุเซตของการแบ่งอรรถประโยชน์ที่เป็นไปได้ของแต่ละกลุ่มผู้เล่น $S\subseteq N$ เป็น $V(S)\subset \mathbb {R} ^{S}$ ^[13]

แนวคิดผลเฉลย

แนวคิดผลเฉลย (solution concept) หมายถึงฟังก์ชันหรือวิธีการที่ระบุผลลัพธ์จากเกมแต่ละเกม โดยนิยามของแนวคิดผลเฉลยแต่ละชนิดจะเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ^[8]

เกมแบบไม่ร่วมมือ

สมดุลแบบแนช

แนวคิดสมดุลแบบแนช (Nash equilibrium; เรียกตามชื่อของจอห์น แนช) เป็นแนวคิดผลเฉลยสำคัญของทฤษฎีเกมแบบไม่ร่วมมือ หลักสำคัญของแนวคิดนี้คือ ผู้เล่นแต่ละฝ่ายเลือกทางเลือกที่ดีสุดสำหรับตนเอง เมื่อพิจารณาถึงทางเลือกของผู้เล่นอื่นในจุดสมดุลนั้นๆ^[10]^: 11 ผู้เล่นแต่ละฝ่ายจึงไม่สามารถได้ประโยชน์มากขึ้นด้วยการเปลี่ยนทางเลือกของตัวเองแต่เพียงฝ่ายเดียวได้ในจุดสมดุล

จากนิยามของเกมรูปแบบกลยุทธ์ข้างต้น หากกำหนดให้ $s_{-i}$ หมายถึงโพรไฟล์กลยุทธ์ของผู้เล่นทุกคนยกเว้นผู้เล่น $i$ โพรไฟล์กลยุทธ์ $s$ สามารถเขียนได้ในอีกรูปแบบหนึ่งเป็น $(s_{i},s_{-i})$

โพร์ไฟล์กลยุทธ์ $s^{*}=(s_{1}^{*},s_{2}^{*},\dots ,s_{n}^{*})$ ถือว่าเป็นจุดสมดุลแบบแนช ถ้ากลยุทธ์ $s_{i}^{*}$ ที่ผู้เล่น $i$ เลือก เป็นกลยุทธ์ที่ให้อรรถประโยชน์สูงสุดแก่ผู้เล่น $i$ เมื่อผู้เล่นคนอื่นๆ เลือกเล่นกลยุทธ์ที่ระบุใน $s^{*}$ กล่าวอีกทางหนึ่งคือ ผู้เล่นแต่ละคนในเกมไม่สามารถทำให้อรรถประโยชน์ของตัวเองสูงขึ้นด้วยการเลือกกลยุทธ์อื่นที่ไม่ใช่ $s_{i}^{*}$ ตราบใดที่ผู้เล่นคนอื่นทุกคนเลือกกลยุทธ์ของตัวเองตามที่กำหนดในโพรไฟล์กลยุทธ์ $s^{*}$ เงื่อนไขนี้เขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่า^[10]^: 11^[5]^: 96 $\forall i\in N,\forall s_{i}'\in S_{i}:u_{i}(s^{*})\geq u_{i}(s_{i}',s_{-i}^{*})$

เกมบางเกมอาจไม่มีจุดสมดุลแบบแนชในกลยุทธ์แท้ ผลงานสำคัญของแนชคือการพิสูจน์ว่า เกมทุกเกมจะมีจุดสมดุลลักษณะนี้ในกลยุทธ์แบบผสมอย่างน้อยหนึ่งจุดเสมอ แนชพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยการใช้ทฤษฎีบทจุดตรึง^[10]^: 29 แนวทางการพิสูจน์ด้วยทฤษฎีบทจุดตรึงนี้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีนัยทั่วไปกว่าทฤษฎีบทของแนชว่า หากว่าเกมมีเซตกลยุทธ์เป็นเซตย่อยของปริภูมิแบบยุคลิดที่กระชับ คอนเวกซ์ และไม่เป็นเซตว่าง และฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของผู้เล่นแต่ละคนเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในเซตโพรไฟล์กลยุทธ์ และกึ่งเว้าต่อกลยุทธ์ของตัวเอง เกมนั้นก็จะมีจุดสมดุลแบบแนชอย่างน้อยหนึ่งจุด กล่าวได้ว่า ทฤษฎีบทของแนชเป็นกรณีเฉพาะของทฤษฎีบททั่วไปนี้^[10]^: 34

สมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อย

สมดุลแบบแนชเป็นแนวคิดคำตอบที่นิยามจากเกมในรูปแบบกลยุทธ์ ซึ่งสามารถนำมาใช้กับเกมที่มีการตัดสินใจเป็นลำดับก่อนหลังได้เนื่องจากสามารถเขียนเกมออกไปในรูปแบบกลยุทธ์ได้โดยเปรียบเสมือนว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายเลือกกลยุทธ์ของตนเองทั้งเกมก่อนที่จะเริ่มเล่นเกมจริงๆ แต่สมดุลของแนชในเกมที่มีลำดับก่อนหลังอาจมีลักษณะที่มองได้ว่าเป็นการตัดสินใจที่ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากผู้เล่นสามารถเลือกกลยุทธ์ที่เรียกว่า "คำขู่ที่ไม่น่าเชื่อถือ" (non-credible threat) ซึ่งมีลักษณะเหมือนกับการที่ผู้เล่นขู่ไว้ล่วงหน้าว่าจะเลือกทางที่ทำให้ตนเองเสียประโยชน์ เพื่อกดดันผู้เล่นฝ่ายอื่นที่ตัดสินใจก่อนหน้าให้เลือกทางเลือกอื่นแทน

สมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อย (subgame perfect equilibrium) เป็นแนวคิดคำตอบที่กำหนดว่าการตัดสินใจของผู้เล่นจะต้องเป็นจุดสมดุลแบบแนชในทุกเกมย่อย (subgame) ที่เริ่มจากจุดยอดใดๆ ในเกม จุดสมดุลแบบสมบูรณ์ทุกเกมย่อยสามารถหาได้ด้วยวิธีการนิรนัยย้อนกลับ (backward induction) ซึ่งหมายถึงการพิจารณาตัดทางเลือกที่ไม่สมเหตุสมผลจากสิ้นสุดของเกมย้อนไปหาจุดเริ่มต้นของเกม

เกมแบบร่วมมือ

แนวทางการวิเคราะห์เกมแบบร่วมมือ มักประกอบด้วยการเลือกวิธีการจับกลุ่มของผู้เล่นหรือแบ่งผลประโยชน์ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข (สัจพจน์) บางประการที่กำหนด เช่น ประสิทธิภาพ ความสมมาตร ความเท่าเทียม ความเสถียร เป็นต้น^[13] แนวคิดผลเฉลยของเกมแบบร่วมมือ อาจมีลักษณะเป็นเซต เช่น คอร์ เซตเสถียร หรือมีลักษณะเป็นจุดเดียว เช่น ค่าแชปลีย์ นิวคลีโอลัส เป็นต้น

ประวัติ

การอภิปรายในยุคแรกถึงตัวอย่างของเกมสองผู้เล่นเกิดขึ้นนานมาแล้วก่อนการศึกษาทฤษฎีเกมทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ โดยพบหลักฐานที่กล่าวถึงทฤษฎีเกมเป็นครั้งแรกในจดหมายเมื่อปี พ.ศ. 2256 ซึ่งเขียนโดย เจมส์ เวลด์เกรฟ เขาได้ทำการวิเคราะห์หากลยุทธที่ดีที่สุดในการเล่นเกมไพ่ชนิดหนึ่งที่มีผู้เล่นสองคน ชื่อว่า le Her โดยใช้หลักการคล้ายกับทฤษฎีเกม ต่อมา เจมส์ แมดิสันได้วิเคราะห์ทฤษฎีเกมถึงวิธีที่รัฐจะถูกคาดหวังให้วางตัวภายใต้ระบบการเก็บภาษีที่แตกต่างกัน^[14]^[15] และอ็องตวน-โอกุสแต็ง กูร์โน ได้ตีพิมพ์ผลงานเรื่อง Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth ใน พ.ศ. 2381 ซึ่งเป็นกรณีทั่วไปของการศึกษาของเจมส์

ทฤษฎีเกมได้มีการศึกษาเป็นสาขาเฉพาะครั้งแรกเมื่อจอห์น ฟอน นอยมันน์ตีพิมพ์ผลงานของตนในปี พ.ศ. 2473^[16] และได้ตีพิมพ์ตำรา Theory of Games and Economic Behavior ที่เขียนร่วมกับ ออสการ์ มอร์เกินสเติร์น ใน พ.ศ. 2487 ซึ่งกล่าวถึงวิธีการหาทางเลือกที่สอดคล้องกันทั้งสองฝ่ายสำหรับเกมที่ต้องมีแพ้-ชนะสองผู้เล่น ในช่วงนี้ งานศึกษาทฤษฎีเกมส่วนใหญ่มุ่งศึกษาทฤษฎีเกมความร่วมมือ ซึ่งวิเคราะห์ถึงกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับกลุ่มบุคคล โดยสันนิษฐานว่าพวกเขาสามารถตกลงในข้อตกลงระหว่างกันเกี่ยวกับกลยุทธ์ที่เหมาะสมได้^[17]

ใน พ.ศ. 2493 ได้ปรากฏการอภิปรายครั้งแรกถึงปัญหา "ความลำบากใจของนักโทษ" ขึ้น ซึ่งในขณะเดียวกัน จอห์น แนชได้พัฒนาหลักเกณฑ์สำหรับความสอดคล้องกันในกลยุทธ์ของผู้เล่นทั้งสองฝ่าย ซึ่งเรียกว่า "จุดสมดุลของแนช" ซึ่งใช้ได้กับเกมหลากหลายประเภทกว่าเกณฑ์ที่เสนอโดยฟอน นอย์มันน์และมอร์เกินสเติร์น จุดสมดุลดังกล่าวเป็นเรื่องทั่วไปมากพอที่จะเปิดโอกาสให้วิเคราะห์เกมการแข่งขันนอกเหนือไปจากเกมความร่วมมือได้ จอห์น แนชได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ ร่วมกับจอห์น ฮาร์ชาญี และไรน์ฮาร์ด เซลเทน ในปี พ.ศ. 2537 ในฐานะที่เป็นผู้นำหลักทฤษฎีเกมไปประยุกต์ใช้ในด้านเศรษฐศาสตร์ และในช่วงคริสต์ศวรรษ 1970 (พ.ศ. 2513-2522) ได้มีการประยุกต์ทฤษฎีเกมเข้ากับวิชาชีววิทยา ส่วนการประยุกต์ในวิชารัฐศาสตร์และปรัชญาได้มีมาตั้งแต่คริสต์ทศวรรษ 1950 (พ.ศ. 2493-2502) แล้ว

ทฤษฎีเกมประสบกับกิจกรรมจำนวนมากในทศวรรษที่ 1950 ในช่วงที่แนวคิดเรื่องแก่นหลัก เกมรูปแบบขยาย การเล่นไม่จริง เกมซ้ำๆ และมูลค่าแชปลีย์ ถูกพัฒนาขึ้น นอกจากนี้

ใน 1979 โรเบิร์ต อเซลรอด พยายามที่จะสร้างโปรแกรมคอมพิวเตอร์เปรียบเสมือนกับผู้เล่นและพบว่าในการแข่งขันระหว่างกัน ผู้ชนะมักจะเป็นโปรแกรม "ตาต่อตา ฟันต่อฟัน" ที่ร่วมมือกันในขั้นตอนแรก และในระยะถัดมาจะทำในสิ่งที่คู่ต่อสู้ทำในระยะก่อนหน้าทุกครั้ง

ความสำเร็จในด้านการชนะรางวัลต่างๆ

ในปี 1965 ไรน์ฮาร์ด เซลเทนได้ริเริ่มแนวคิดของผลลัพธ์ที่เรียกว่าดุลยภาพสมบูรณ์ของเกมย่อย ซึ่งต่อมาได้เป็นการปัดฝุ่นคำว่าดุลยภาพของแนชขึ้นมาใหม่ (ต่อมาเขาได้ริเริ่มดุลยภาพสมบูรณ์ของภาวะสั่นไหวของมือขึ้นมาอีกเช่นกัน) ในปี 1994 แนช เซลเทน และฮาร์ซานยี ได้เป็นผู้ชนะรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์สำหรับงานที่เกี่ยวกับทฤษฎีเกมทางเศรษฐศาสตร์

ในทศวรรษ 1970 ได้มีการประยุกต์ทฤษฎีเกมเข้ากับวิชาชีววิทยา โดยส่วนใหญ่เป็นผลงานของจอห์น เมนาร์ด สมิธ และกลยุทธ์วิวัฒนาการอย่างคงที่ นอกจากนี้ แนวคิดของดุลยภาพสหสัมพันธ์ ภาวะสมบูรณ์ของภาวะการสั่นไหวของมือ และความรู้ร่วม ถูกนำมาใช้และวิเคราะห์

ในปี 2005 นักทฤษฎีเกม โทมัส เชลลิง และโรเบิร์ต ออมันน์ ได้รับรางวัลโนเบลต่อจากแนช เซลเทน และฮาร์ซานยี โดยเชลลิงศึกษาทางด้านแบบจำลองพลวัต ซึ่งเป็นตัวอย่างแรกๆ ของทฤษฎีเกมเชิงวิวัฒนาการ ออมันน์เน้นศึกษาเกี่ยวกับดุลยภาพ ได้ริเริ่มดุลยภาพแบบหยาบ ดุลยภาพสหสัมพันธ์ และพัฒนาการวิเคราะห์ที่เป็นระเบียบมากขึ้นสำหรับสมมติฐานที่เกี่ยวกับความรู้ร่วมและผลที่ตามมา

ในปี 2007 เลโอนิด ฮัวร์วิกซ์ ร่วมกับอีริก มัสกิน และโรเจอร์ ไมเออร์สัน ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์จาก "การวางรากฐานทฤษฎีการออกแบบกลไก" งานของไมเออร์สันรวมถึงการนำเสนอดุลยภาพที่เหมาะสม และหนังสือระดับปริญญาโทที่สำคัญ Game Theory, Analysis of Conflict ส่วนฮัวร์วิกซ์ริเริ่มและทำแนวคิดของแรงจูงใจที่สอดคล้องกันให้เป็นรูปเป็นร่างมากขึ้น

ในปี 2012 อัลวิน อี รอธ และ ลอยด์ เอส แชปลีย์ ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ "สำหรับทฤษฎีการจัดสรรอย่างคงที่และการใช้การออกแบบตลาด" และในปี 2014 รางวัลโนเบลได้มอบแก่นักทฤษฎีเกมที่ชื่อ ฌอง ธีโรล

ตัวอย่างเกมที่มีชื่อเสียง

เกมความลำบากใจของนักโทษ

เกมความลำบากใจของนักโทษ (Prisoner's dilemma) เป็นเกมที่มีผู้เล่น 2 คนและทางเลือก 2 ทาง แนวคิดของเกมนี้ได้สร้างขึ้นโดย เมอร์ริล ฟลูด และ เมลวิน เดรชเชอร์ ใน พ.ศ. 2493 โดยมีลักษณะเป็นเกมที่ผู้เล่นทั้งสองฝ่ายพยายามเลือกทางเลือกที่ได้ผลตอบแทนมากที่สุด แต่กลับทำให้ผลตอบแทนรวมที่ได้ต่ำลง มีสถานการณ์ดังนี้

คนร้ายสองคนคือ A และ B ถูกตำรวจจับและถูกแยกไปสอบปากคำทีละคน ตำรวจไม่สามารถดำเนินคดีกับคนร้ายทั้งสองได้ทันทีเพราะไม่มีพยาน คนร้ายแต่ละคนมีทางเลือกสองทางคือ รับสารภาพ และไม่รับสารภาพ ถ้าคนร้ายคนหนึ่งรับสารภาพแต่อีกคนไม่รับ ตำรวจจะกันคนที่รับสารภาพไว้เป็นพยานและปล่อยตัวไป และจะส่งฟ้องคนที่ไม่รับสารภาพซึ่งมีโทษจำคุก 20 ปี ถ้าทั้งสองคนรับสารภาพ จะได้รับการลดโทษเหลือจำคุกคนละ 10 ปี แต่ถ้าทั้งสองคนไม่รับสารภาพ ตำรวจจะสามารถส่งฟ้องได้เพียงข้อหาเล็กน้อยเท่านั้นซึ่งมีโทษจำคุก 1 ปี

เกมนี้สามารถเขียนแสดงในรูปแบบตารางได้ดังนี้

	รับสารภาพ	ไม่รับสารภาพ
รับสารภาพ	-10, -10	0, -20
ไม่รับสารภาพ	-20, 0	-1, -1

จะเห็นว่ากลยุทธเด่นของผู้เล่นทั้งสองฝ่ายคือการรับสารภาพ เพราะไม่ว่าผู้เล่นอีกฝ่ายจะตัดสินใจอย่างไร ก็จะได้ผลตอบแทนที่ดีกว่าเสมอ แต่เมื่อทั้งสองฝ่ายเลือกทางเลือกนี้ กลับไม่ให้ผลตอบแทนที่ดีที่สุด ถึงแม้ผู้เล่นจะทราบว่าผลตอบแทนที่ดีที่สุดจะเกิดขึ้นเมื่อทั้งสองฝ่ายไม่รับสารภาพ แต่ทั้งคู่อาจไม่กล้าทำเพราะไม่ไว้ใจอีกฝ่ายว่าจะรับสารภาพหรือไม่ จึงทำให้ทั้งสองฝ่ายต้องได้รับผลตอบแทนที่ต่ำลง และจุด (-10, -10) ก็เป็นจุดสมดุลของแนชในเกมนี้ เพราะผู้เล่นทั้งสองฝ่ายไม่สามารถเปลี่ยนไปเลือกทางเลือกอื่นที่ได้ผลตอบแทนดีกว่านี้

เกมไก่ตื่น

เกมไก่ตื่น (Chicken) เป็นเกมที่มีผู้เล่น 2 คนและทางเลือก 2 ทาง มีสถานการณ์ดังนี้

ผู้เล่นสองคนขับรถด้วยความเร็วสูงเข้าหากัน ฝ่ายที่หักหลบรถก่อนจะเป็นผู้แพ้ แต่ถ้าผู้เล่นทั้งสองฝ่ายไม่หักหลบรถ รถจะชนกันและจะทำให้ผู้เล่นทั้งสองฝ่ายเกิดความเสียหายอย่างมาก

เกมนี้สามารถเขียนแสดงในรูปแบบตารางได้ดังนี้

	หลบ	ไม่หลบ
หลบ	0, 0	-1, +1
ไม่หลบ	+1, -1	-10, -10

จะเห็นว่าเกมในรูปแบบนี้ไม่มีกลยุทธเด่น และมีจุดสมดุลของแนชสองจุดคือ (-1, +1) และ (+1, -1) แต่วิธีทางจิตวิทยาสำหรับผู้เล่นเกมนี้คือ พยายามส่งสัญญาณให้ผู้เล่นฝ่ายตรงข้ามเห็นว่า ตนจะไม่หักหลบอย่างแน่นอน ซึ่งจะทำให้ผู้เล่นฝ่ายตรงข้ามต้องยอมหักหลบไปเอง มิฉะนั้นจะเสียผลตอบแทนอย่างมาก

เกมแห่งความร่วมมือ

เกมแห่งความร่วมมือ (Stag hunt) เป็นเกมที่มีผู้เล่น 2 คนและทางเลือก 2 ทาง ซึ่งเป็นทางเลือกระหว่างทางที่ปลอดภัยกับการให้ความร่วมมือกับอีกฝ่าย มีสถานการณ์ดังนี้

ผู้เล่นสองคนต้องการเลือกล่าสัตว์ชนิดหนึ่งระหว่างกวางกับกระต่าย ซึ่งกวางมีราคาดีกว่ากระต่ายมาก แต่ก็ล่ายากกว่าเช่นกัน จำเป็นต้องใช้สองคนร่วมมือกันจึงจะล่าได้ ในขณะที่กระต่ายมีราคาต่ำแต่ล่าได้ง่าย สามารถล่าได้โดยใช้เพียงคนเดียว

เกมนี้สามารถเขียนแสดงในรูปแบบตารางได้ดังนี้

	ล่ากวาง	ล่ากระต่าย
ล่ากวาง	+10, +10	0, +3
ล่ากระต่าย	+3, 0	+3, +3

จะเห็นว่าเกมในรูปแบบนี้ไม่มีกลยุทธเด่น และมีจุดสมดุลของแนชสองจุดคือ (+10, +10) และ (+3, +3) ซึ่งการที่ผู้เล่นทั้งสองจะได้ผลตอบแทนสูงสุดนั้น จะต้องอาศัยความร่วมมือร่วมใจกัน คือเลือกล่ากวางทั้งคู่ ซึ่งผู้เล่นจะต้องมีความไว้วางใจผู้เล่นอีกฝ่ายด้วย

การประยุกต์ใช้

รัฐศาสตร์

มีการนำทฤษฎีเกมมาประยุกต์ใช้ในด้านรัฐศาสตร์ เช่น การหาเสียงเลือกตั้ง ในปี พ.ศ. 2500 แอนโทนี ดาวน์ส ได้ตีพิมพ์ผลงานเรื่อง An Economic Theory of Democracy ซึ่งมีเนื้อหาเกี่ยวกับการเลือกตำแหน่งในการหาเสียงเลือกตั้งให้ได้ผลดีที่สุด

เศรษฐศาสตร์

ในทางเศรษฐศาสตร์ ได้มีการนำทฤษฎีเกมมาช่วยในการตัดสินใจในหลาย ๆ ด้านมาเป็นเวลานานแล้ว เช่น การต่อรองผลประโยชน์ การประมูล การแข่งขันของผู้ผลิต การรวมกลุ่มทางเศรษฐกิจ โดยมีแนวคิดสำคัญที่ใช้คือเรื่องจุดสมดุลของแนช อย่างไรก็ตาม ในเกมการแข่งขันทางธุรกิจ อาจมีการปรับเปลี่ยนกลยุทธได้ตลอดเวลาเพื่อให้ได้รับผลตอบแทนที่สูงขึ้น และผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเข้าสู่จุดสมดุลของแนช ซึ่งเป็นจุดที่ทุกฝ่ายไม่สามรถเปลี่ยนกลยุทธเพื่อให้ได้ผลตอบแทนสูงกว่านี้อีกแล้ว

ชีววิทยา

มีการใช้ทฤษฎีเกมเพื่ออธิบายถึงปรากฏการณ์ต่าง ๆ ทางชีววิทยา เช่น ในปี พ.ศ. 2473 โรนัลด์ ฟิชเชอร์ ได้ใช้ทฤษฎีเกมในการอธิบายถึงอัตราส่วนของสัตว์เพศผู้ต่อเพศเมียที่เป็น 1:1 เนื่องจากเป็นอัตราส่วนที่สามารถสืบพันธุ์ได้จำนวนมากที่สุด นอกจากนี้ นักชีววิทยายังใช้ทฤษฎีเกมเพื่อช่วยในการศึกษาพฤติกรรมต่าง ๆ ของสัตว์ เช่น การใช้เกมไก่ตื่นในการอธิบายถึงการต่อสู้ของสัตว์

วิทยาการคอมพิวเตอร์

มีการพัฒนาในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรมเพื่อหาขั้นตอนวิธีที่ดีที่สุดในการเล่นเกมในสถานการณ์หนึ่งเป็นระยะเวลานาน

สังคมวิทยา

ได้มีการนำทฤษฎีเกมมาประยุกต์ใช้ในด้านสังคมวิทยา เช่น วิลลาร์ด แวน ออร์มาน ควินท์ และ เดวิด ลูอิส ได้พัฒนาการศึกษาด้านประเพณีนิยม และมีการวิเคราะห์เกี่ยวกับเกมต่าง ๆ ที่ต้องเลือกระหว่างศีลธรรมกับผลประโยชน์ของตนเอง เช่น เกมความลำบากใจของนักโทษ

ในวัฒนธรรมร่วมสมัย

ชีวิตของนักทฤษฎีเกมและนักคณิตศาสตร์ จอห์น แนช ได้ถูกนำมาสร้างเป็นหนังอิงชีวประวัติในปี 2001 ในชื่อ A Beautiful Mind โดยอิงจากหนังสือปี 1998 โดยซิลเวียร์ นาซาร์ นำแสดงโดยรัสเซลล์ โครว์ที่เล่นเป็นแนช
ในปี 1959 นวนิยายวิทยาศาสตร์สงคราม Starship Troopers โดย โรเบิร์ต เอ ไฮน์ไลน์ ได้อ้างถึง "ทฤษฎีเกม" และ "ทฤษฎีแห่งเกม" ในภาพยนตร์เรื่องเดียวกันในปี 1997 ตัวละครที่ชื่อ คาร์ล เจนกินส์ ได้อ้างถึงงานด้านการข่าวกรองทางการทหารนี้ว่าเป็นการมอบหมายงานด้าน "เกมและทฤษฎี"

อ้างอิง

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Myerson, Roger B. (1991). Game theory: Analysis of conflict. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. ISBN 0-674-34116-3.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994). A course in game theory. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-65040-1.
↑ Falster, Daniel S.; Westoby, Mark (2003). "Plant height and evolutionary games". Trends in Ecology & Evolution. 18 (7): 337–343. doi:10.1016/S0169-5347(03)00061-2.
↑ Brams, Steven J. (1980). Biblical games: A strategic analysis of stories in the Old Testament. MIT Press. ISBN 9780262021449.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 ^5.5 ^5.6 Maschler, Michael; Solan, Eilon; Zamir, Shmuel (2013). Game theory. แปลโดย Hellman, Ziv. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00548-8.
↑ Nash, John (1951). "Non-cooperative games". Annals of Mathematics. 54 (2): 286–295. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969529.
↑ ^7.0 ^7.1 Harsanyi, John C.; Selten, Reinhard (1988). A general theory of equilibrium selection in games. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-08173-3.
↑ ^8.0 ^8.1 Aumann, R.J. (2008). "Game theory". New Palgrave dictionary of economics. London: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/978-1-349-95121-5_942-2. ISBN 978-1-349-95121-5.
↑ van Damme, Eric (2015). "Game theory: Noncooperative games". ใน Wright, James D. (บ.ก.). International encyclopedia of the social & behavioral sciences. Vol. 9 (2 ed.). Oxford: Elsevier. pp. 582–591. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.71048-8. ISBN 978-0-08-097087-5.
↑ ^10.0 ^10.1 ^10.2 ^10.3 ^10.4 ^10.5 ^10.6 ^10.7 ^10.8 Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1991). Game theory. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 978-0-262-06141-4.
↑ Von Neumann, John; Morgenstern, Oskar (1953). Theory of Games and Economic Behavior (ภาษาอังกฤษ) (3 ed.). Princeton: Princeton University Press. OCLC 10006173.
↑ Hart, Sergiu (1992). "Games in extensive and strategic forms". ใน Aumann, Robert J.; Hart, Sergiu (บ.ก.). Handbook of game theory with economic applications. Vol. 1. Elsevier. pp. 19–40. doi:10.1016/S1574-0005(05)80005-0.
↑ ^13.0 ^13.1 ^13.2 Hokari, Toru; Thomson, William (2015). "Cooperative game theory". ใน Wright, James D. (บ.ก.). International encyclopedia of the social & behavioral sciences. Vol. 9 (2 ed.). Oxford: Elsevier. pp. 867–880. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.71073-7. ISBN 978-0-08-097087-5.
↑ James Madison, Vices of the Political System of the United States, April, 1787. Link
↑ Jack Rakove, "James Madison and the Constitution", History Now, Issue 13 September 2007. Link
↑ J. v. Neumann (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele," Mathematische Annalen, 100(1), p p. 295-320. English translation: "On the Theory of Games of Strategy," in A. W. Tucker and R. D. Luce, ed. (1959),Contributions to the Theory of Games, v. 4, p p. 13-42.
↑ Leonard, Robert. Von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory. Cambridge University Press, 2010

แหล่งข้อมูลอื่น

วิกิตำราภาษาอังกฤษ มีคู่มือ ตำรา หรือวิธีการเกี่ยวกับ: ทฤษฎีเกม

[Myerson-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Myerson, Roger B. (1991). Game theory: Analysis of conflict. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. ISBN 0-674-34116-3.

[Osborne_Rubinstein-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994). A course in game theory. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-65040-1.

[Plant_height-3] Falster, Daniel S.; Westoby, Mark (2003). "Plant height and evolutionary games". Trends in Ecology & Evolution. 18 (7): 337–343. doi:10.1016/S0169-5347(03)00061-2.

[Biblical_games-4] Brams, Steven J. (1980). Biblical games: A strategic analysis of stories in the Old Testament. MIT Press. ISBN 9780262021449.

[Maschler_et_al-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 ^5.5 ^5.6 Maschler, Michael; Solan, Eilon; Zamir, Shmuel (2013). Game theory. แปลโดย Hellman, Ziv. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00548-8.

[Nash_1951-6] Nash, John (1951). "Non-cooperative games". Annals of Mathematics. 54 (2): 286–295. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969529.

[Harsanyi_Selten-7] 7.0 ^7.1 Harsanyi, John C.; Selten, Reinhard (1988). A general theory of equilibrium selection in games. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-08173-3.

[Palgrave_Game_Theory-8] 8.0 ^8.1 Aumann, R.J. (2008). "Game theory". New Palgrave dictionary of economics. London: Palgrave Macmillan. doi:10.1057/978-1-349-95121-5_942-2. ISBN 978-1-349-95121-5.

[van_Damme-9] van Damme, Eric (2015). "Game theory: Noncooperative games". ใน Wright, James D. (บ.ก.). International encyclopedia of the social & behavioral sciences. Vol. 9 (2 ed.). Oxford: Elsevier. pp. 582–591. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.71048-8. ISBN 978-0-08-097087-5.

[Fudenberg_Tirole-10] 10.0 ^10.1 ^10.2 ^10.3 ^10.4 ^10.5 ^10.6 ^10.7 ^10.8 Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1991). Game theory. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 978-0-262-06141-4.

[VonNeumann_Morgenstern-11] Von Neumann, John; Morgenstern, Oskar (1953). Theory of Games and Economic Behavior (ภาษาอังกฤษ) (3 ed.). Princeton: Princeton University Press. OCLC 10006173.

[Hart-12] Hart, Sergiu (1992). "Games in extensive and strategic forms". ใน Aumann, Robert J.; Hart, Sergiu (บ.ก.). Handbook of game theory with economic applications. Vol. 1. Elsevier. pp. 19–40. doi:10.1016/S1574-0005(05)80005-0.

[Hokari_Thomson-13] 13.0 ^13.1 ^13.2 Hokari, Toru; Thomson, William (2015). "Cooperative game theory". ใน Wright, James D. (บ.ก.). International encyclopedia of the social & behavioral sciences. Vol. 9 (2 ed.). Oxford: Elsevier. pp. 867–880. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.71073-7. ISBN 978-0-08-097087-5.

[14] James Madison, Vices of the Political System of the United States, April, 1787. Link

[15] Jack Rakove, "James Madison and the Constitution", History Now, Issue 13 September 2007. Link

[16] J. v. Neumann (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele," Mathematische Annalen, 100(1), p p. 295-320. English translation: "On the Theory of Games of Strategy," in A. W. Tucker and R. D. Luce, ed. (1959),Contributions to the Theory of Games, v. 4, p p. 13-42.

[17] Leonard, Robert. Von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory. Cambridge University Press, 2010

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]