เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด

พฤติกรรมของเส้นตรงที่มีเส้นตั้งฉากร่วมกันในเรขาคณิตทั้งสามแบบ จากซ้ายไปขวาคือ เรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา เรขาคณิตแบบยุคลิด และเรขาคณิตอิลลิปติก

เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด (อังกฤษ: non-Euclidean geometry) เป็นระบบเรขาคณิตที่แตกต่างไปจากเรขาคณิตแบบยุคลิด โดยเปลี่ยนสัจพจน์เส้นขนานในเรขาคณิตของยุคลิดออกเป็นสัจพจน์อื่นที่ใกล้เคียงกัน โดยระบบเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดมีสองระบบ คือ เรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา (hyperbolic geometry) และเรขาคณิตอิลลิปติก (elliptic geometry)

หลักการ

ความแตกต่างระหว่างเรขาคณิตทั้งสามคือพฤติกรรมของเส้นขนาน ในเรขาคณิตแบบยุคลิดมีการกำหนดสัจพจน์ซึ่งรู้จักในชื่อ สัจพจน์ข้อที่ห้าของยุคลิด หรือ สัจพจน์เส้นขนาน ซึ่งกล่าวว่า ถ้าส่วนของเส้นตรงตัดกับเส้นตรงสองเส้น ทำให้เกิดมุมภายในสองมุมบนฝั่งเดียวกันที่ผลรวมน้อยกว่ามุมสองมุมฉาก (180°) แล้วเส้นตรงสองเส้นนั้นจะต้องตัดกันทางด้านนั้น

สัจพจน์เส้นขนานสมมูลกับสัจพจน์ของเพลย์แฟร์ (Playfair's postulate) ซึ่งกล่าวว่า หากกำหนดเส้นตรง $l$ และจุด $A$ ที่ไม่อยู่บนเส้นตรง $l$ มาให้ แล้วจะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุด $A$ และไม่ตัดกับเส้นตรง $l$

เรขาคณิตนอกแบบยุคลิดต่างจากเรขาคณิตแบบยุคลิดในด้านนี้ ในเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา จะมีเส้นตรงอยู่อนันต์เส้นที่ผ่านจุด $A$ แต่ไม่ตัดเส้นตรง $l$ ในขณะที่เรขาคณิตอิลลิปติก เส้นตรงทุกเส้นที่ผ่านจุด $A$ จะตัดกับเส้นตรง $l$

วิธีอธิบายความแตกต่างระหว่างเรขาคณิตเหล่านี้อีกแบบหนึ่งคือพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่มีเส้นตั้งฉากร่วมกัน

• ในเรขาคณิตแบบยุคลิด เส้นตรงสองเส้นข้างต้นจะมีระยะห่างระหว่างกันเป็นค่าคงที่เสมอ ไม่ว่าจะวัดที่สุดใดก็ตาม นั่นคือเส้นตรงใด ๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นตรงทั้งสอง จะมีความยาวระหว่างจุดตัดเท่าเดิม
• เรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา เส้นตรงสองเส้นข้างต้นจะโค้งออกจากกัน โดยมีระยะทางระหว่างเส้นตรงสองเส้นเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อวัดที่จุดที่ห่างออกจากเส้นตั้งฉากร่วมกัน
• ในเรขาคณิตอิลลิปติก เส้นตรงสองเส้นจะโค้งเข้าหากัน แล้วจะตัดกันในที่สุด

ประวัติ

พื้นหลัง

เรขาคณิตแบบยุคลิดซึ่งได้ชื่อตามยุคลิด เป็นหนึ่งในคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่เป็นที่รู้จัก และเรขาคณิตที่แตกต่างไปจากเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่เป็นที่ยอมรับจนถึงศตวรรษที่ 19

การถกเถียงที่นำไปสู่การค้นพบเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดเริ่มต้นขึ้นตั้งแต่สมัยทึ่ยุคลิดเขียน เอเลเมนส์ ในหนังสือเอเลเมนส์ ยุคลิดเริ่มต้นด้วยการให้ข้อสมมติจำนวนหนึ่ง ประกอบไปด้วย บทนิยาม 23 ชุด แนวคิดสามัญ (common notions) 5 ชุด และสัจพจน์ (postulates) 5 ชุด แล้วพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่น ๆ จากข้อสมมติเหล่านี้ สัจพจน์ที่เป็นที่รู้จักกันมากที่สุดและก่อให้เกิดการถกเดียงกันคือสัจพจน์ข้อที่ห้าของยุคลิดหรือสัจพจน์เส้นขนาน ยุคลิดระบุไว้ว่า

ถ้าเส้นตรงหนึ่งตัดกับเส้นตรงสองเส้น ทำให้เกิดมุมภายในสองมุมบนฝั่งเดียวกันที่ผลรวมน้อยกว่ามุมสองมุมฉาก แล้วเส้นตรงสองเส้นหากวาดต่ออกไปเรื่อย ๆ นั้นจะต้องตัดกันทางด้านนั้น

If a straight line falls on two straight lines in such a manner that the interior angles on the same side are together less than two right angles, then the straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.

นักคณิตศาสตร์ท่านอื่นได้พบรูปแบบที่ง่ายกว่าของสมบัติข้างต้น แต่ไม่ว่าจะตั้งสัจพจน์นี้อย่างไร ก็ยังซับซ้อนกว่าสัจพจน์ข้อที่เหลือของยุคลิด:

1. สามารถวาดเส้นตรงเชื่อมสองจุดใด ๆ ได้
2. สามารถต่อเส้นตรงออกไปได้อย่างต่อเนื่อง
3. สามารถวาดวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางและรัศมีใด ๆ ได้
4. ทุกมุมฉากเท่ากัน

เป็นเวลาถึงพันปี ที่นักเรขาคณิตมีปัญหากับความซับซ้อนของสัจพจน์ข้อที่ห้าที่แตกต่างจากข้ออื่น ๆ และเชื่อว่าสัจพจน์นี้สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์สี่ข้อข้างต้น นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามหาบทพิสูจน์โดยใช้ข้อขัดแย้ง ซึ่งรวมถึง อิบน์ อัลฮัยษัม ในศตวรรษที่ 11 โอมาร์ คัยยาม ในศตวรรษที่ 12, นาสีร์ อัลดิน อัลตูซี ในศตวรรษที่ 13 และ โจวานนี จีโรลาโม ซัคเคอรี ในศตรวรรษที่ 18

ดูเพิ่ม

• เรขาคณิตแบบยุคลิด