ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน

ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน (อังกฤษ: Kleene's recursion theorem) ในทฤษฎีการคำนวณได้ เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันคำนวณได้ที่ใช้คำบรรยายตัวเองในการคำนวณผลลัพธ์ สตีเฟน คลีน เป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1938 โดยมีเนื้อหาดังต่อไปนี้

ให้ $t:\Sigma ^{*}\times \Sigma ^{*}\rightarrow \Sigma ^{*}$ เป็นฟังก์ชันคำนวณได้ใดๆ แล้ว จะมีเครื่องจักรทัวริง $R\,$ ที่เมื่อรับ $w\,$ เป็นข้อมูลเข้า แล้วจะคำนวณ $t(\langle R\rangle ,w)$ เมื่อ $\langle R\rangle$ คือคำบรรยายของ $R\,$ เอง

กล่าวคือ สำหรับฟังก์ชันคำนวณได้ที่มีข้อมูลเข้าสองตัวใดๆ จะมีฟังก์ชันคำนวณได้อีกฟังก์ชันหนึ่งที่ใช้ตัวเองเป็นข้อมูลเข้าตัวแรกโดยไม่ต้องอ่านข้อมูลจากภายนอก ตัวอย่างเช่น ถ้า $t(x,y)=x$ เครื่องจักรทัวริง $R$ ให้คำบรรยายตัวเองออกมาเป็นผลลัพธ์ โปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ทำงานเหมือนกับ $R$ จะพิมพ์ซอร์สโค้ดของตัวเองออกมา เราเรียกโปรแกรมประเภทนี้ว่าไควน์

การพิสูจน์

เราเริ่มต้นโดยการพิสูจน์บทตั้งต่อไปนี้

มีฟังก็ชันคำนวณได้ $q:\Sigma ^{*}\times \Sigma ^{*}\rightarrow \Sigma ^{*}$ ที่ สำหรับสายอักษร $w\,$ ใดๆ $q(w)\,$ เป็นคำบรรยายเครื่องจักรทัวริง $P_{w}\,$ ที่รับข้อมูลเข้า $x\,$ และพิมพ์ผลลัพธ์ $(w,x)\,$

โดยแสดงเครื่องจักรทัวริงที่คำนวณ $q$ เครื่องจักรทัวริงนั้นอาจนิยามได้ดังต่อไปนี้

$Q$ = "เมื่อได้รับข้อมูลเข้า $w$
    1. สร้างเครื่องจักรทัวริง $P_{w}$ ดังต่อไปนี้
       $P_{w}$ = "เมื่อได้รับข้อมูลเข้า $x$
            1. เลื่อน $x$ ให้มีช่องว่างจากต้นเทปพอที่จะเขียน $w$ และเครื่องหมาย "เว้นวรรค"
            2. พิมพ์ $w$ ลงบนเทป
            3. หยุดการทำงาน"
    2. พิมพ์ $\langle P_{w}\rangle$"

สำหรับการสร้างเครื่องจักรทัวริง $R$ ในทฤษฎีบทนั้น เราแบ่ง $R$ ออกเป็นเครื่องจักรทัวริงย่อยๆ สามเครื่อง ได้แก่ $A$, $B$, และ $T$ โดยที่ $T$ เป็นเครื่องจักรทัวริงหนึ่งที่คำนวณ $t$ โดยเครื่องจักรทั้งสามเครื่องมีลำดับการทำงานคือ $A$ ทำงานจนเสร็จสิ้นแล้ว $B$ จึงเริ่มทำงาน และเมื่อ $B$ ทำงานเสร็จสิ้นแล้ว $T$ จึงเริ่มทำงาน

เครื่องจักร $B$ มีนิยามดังต่อไปนี้

$B$ = "เมื่อได้รับข้อมูลเข้า $(\langle M\rangle ,x)$ เมื่อ $\langle M\rangle$ เป็นคำอธิบายเครื่องจักรทัวริง $M$
    1. คำนวณ $q(\langle M\rangle )$ โดยใช้บทตั้งข้างต้น
    2. ต่อเติมคำอธิบายเครื่องจักร $M$ ให้เป็นเครื่องจักร $N$ ที่ใช้ $q(\langle M\rangle )$ ทำงานก่อน
       แล้วจึงใช้ $M$ ทำงานตาม
    3. พิมพ์ $(N,x)$ ลงบนเทป"

ส่วนเครื่องจักร $A$ คือเครื่องจักรที่ได้จากการคำนวณ $q(\langle BT\rangle )$ เมื่อ $\langle BT\rangle$ คือคำบรรยายเครื่องจักรที่ใช้ $B$ ทำงานก่อนตามด้วย $T$

สังเกตว่าเครื่องจักร $R$ ตามที่ได้นิยามข้างต้นเป็นเครื่องจักรทัวริงที่สอดคล้องกับทฤษฎีบท กล่าวคือ $A=P_{\langle BT\rangle }$ เป็นเครื่องจักรที่พิมพ์คำบรรยายของ $BT$ ดังนั้นเมื่อนำคำบรรยายนี้ไปผนวกกับ $q(\langle BT\rangle )=A$ ก็จะใช้เครื่องจักร $ABT$ ซึ่งก็คือตัว $R$ นั่นเอง ฉะนั้นผลลัพธ์ของ $B$ คือ $(\langle R\rangle ,x)$ และ $T$ ก็จะคำนวณ $t(\langle R\rangle ,x)$ ตามที่เราต้องการ

ประโยชน์

เราสามารถใช้ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีนในการพิสูจน์ข้อความทางทฤษฎีการคำนวณได้หลายๆ ข้อความอย่างกระชับและเป็นธรรมชาติ ยกตัวอย่างเช่น ปัญหาการหยุดทำงาน ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้

สมมติเพื่อข้อขัดแย้งว่ามีเครื่องจักรทัวริง $H$ ที่แก้ปัญหาการหยุดทำงาน พิจารณาเครื่องจักร $M$ ดังต่อไปนี้

$M$ = "เมื่อได้รับอินพุต $x$
    1. หาค่า $\langle M\rangle$ โดยใช้ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน
    2. ให้ $H$ ทำงานบนข้อมูลเข้า $(\langle M\rangle ,x)$
    3. ถ้า $H$ บอกว่า "หยุดทำงาน" ให้เข้าลูปอนันต์
       ถ้า $H$ บอกว่า "ไม่หยุดทำงาน" ให้หยุดทำงาน

เนื่องจาก $M$ ทำงานตรงกันข้ามกับการวินิจฉัยของ $H$ เราจึงได้ข้อขัดแย้งและสรุปได้ว่า $H$ ไม่มีอยู่จริง

ข้อความอื่นๆ ที่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน เช่น

• ฟังก์ชันบีเวอร์คนขยันไม่ใช่ฟังก์ชันคำนวณได้
• ไม่มีเครื่องจักรทัวริงใดทีสามารถ่คำนวณเครื่องจักรทัวริงที่มีขนาดของคำบรรยายสั้นที่สุดที่ำสมมูลกับเครื่องจักรทัวริงที่ให้เป็นข้อมูลเข้าได้
• สำหรับฟังก์ชันคำนวณได้ $t:\Sigma ^{*}\rightarrow \Sigma ^{*}$ ใดๆ ที่ทำการ "ดัดแปลง" เครื่องจักรทัวริงที่ได้รับเป็นข้อมูลเข้า จะมีเครื่องจักรทัวริง $F$ ที่ $t(\langle F\rangle )$ สมมูลกับ $F$

อ้างอิง

• Kleene, Stephen, "On notation for ordinal numbers," The Journal of Symbolic Logic, 3 (1938), 150-155.
• Sipser, Michael. Introduction to the Theory of Computation. Boston: PWS, 1997.