ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
Jump to navigation Jump to search

ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน (อังกฤษ: Kleene's recursion theorem) ในทฤษฎีการคำนวณได้ เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันคำนวณได้ที่ใช้คำบรรยายตัวเองในการคำนวณผลลัพธ์ สตีเฟน คลีน เป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1938 โดยมีเนื้อหาดังต่อไปนี้

ให้ เป็นฟังก์ชันคำนวณได้ใดๆ แล้ว จะมีเครื่องจักรทัวริง ที่เมื่อรับ เป็นข้อมูลเข้า แล้วจะคำนวณ เมื่อ คือคำบรรยายของ เอง

กล่าวคือ สำหรับฟังก์ชันคำนวณได้ที่มีข้อมูลเข้าสองตัวใดๆ จะมีฟังก์ชันคำนวณได้อีกฟังก์ชันหนึ่งที่ใช้ตัวเองเป็นข้อมูลเข้าตัวแรกโดยไม่ต้องอ่านข้อมูลจากภายนอก ตัวอย่างเช่น ถ้า เครื่องจักรทัวริง ให้คำบรรยายตัวเองออกมาเป็นผลลัพธ์ โปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ทำงานเหมือนกับ จะพิมพ์ซอร์สโค้ดของตัวเองออกมา เราเรียกโปรแกรมประเภทนี้ว่าไควน์

การพิสูจน์[แก้]

เราเริ่มต้นโดยการพิสูจน์บทตั้งต่อไปนี้

มีฟังก็ชันคำนวณได้ ที่ สำหรับสายอักษร ใดๆ เป็นคำบรรยายเครื่องจักรทัวริง ที่รับข้อมูลเข้า และพิมพ์ผลลัพธ์

โดยแสดงเครื่องจักรทัวริงที่คำนวณ เครื่องจักรทัวริงนั้นอาจนิยามได้ดังต่อไปนี้

 = "เมื่อได้รับข้อมูลเข้า 
    1. สร้างเครื่องจักรทัวริง  ดังต่อไปนี้
        = "เมื่อได้รับข้อมูลเข้า 
            1. เลื่อน  ให้มีช่องว่างจากต้นเทปพอที่จะเขียน  และเครื่องหมาย "เว้นวรรค"
            2. พิมพ์  ลงบนเทป
            3. หยุดการทำงาน"
    2. พิมพ์ "

สำหรับการสร้างเครื่องจักรทัวริง ในทฤษฎีบทนั้น เราแบ่ง ออกเป็นเครื่องจักรทัวริงย่อยๆ สามเครื่อง ได้แก่ , , และ โดยที่ เป็นเครื่องจักรทัวริงหนึ่งที่คำนวณ โดยเครื่องจักรทั้งสามเครื่องมีลำดับการทำงานคือ ทำงานจนเสร็จสิ้นแล้ว จึงเริ่มทำงาน และเมื่อ ทำงานเสร็จสิ้นแล้ว จึงเริ่มทำงาน

เครื่องจักร มีนิยามดังต่อไปนี้

 = "เมื่อได้รับข้อมูลเข้า  เมื่อ  เป็นคำอธิบายเครื่องจักรทัวริง 
    1. คำนวณ  โดยใช้บทตั้งข้างต้น
    2. ต่อเติมคำอธิบายเครื่องจักร  ให้เป็นเครื่องจักร  ที่ใช้  ทำงานก่อน
       แล้วจึงใช้  ทำงานตาม
    3. พิมพ์  ลงบนเทป"

ส่วนเครื่องจักร คือเครื่องจักรที่ได้จากการคำนวณ เมื่อ คือคำบรรยายเครื่องจักรที่ใช้ ทำงานก่อนตามด้วย

สังเกตว่าเครื่องจักร ตามที่ได้นิยามข้างต้นเป็นเครื่องจักรทัวริงที่สอดคล้องกับทฤษฎีบท กล่าวคือ เป็นเครื่องจักรที่พิมพ์คำบรรยายของ ดังนั้นเมื่อนำคำบรรยายนี้ไปผนวกกับ ก็จะใช้เครื่องจักร ซึ่งก็คือตัว นั่นเอง ฉะนั้นผลลัพธ์ของ คือ และ ก็จะคำนวณ ตามที่เราต้องการ

ประโยชน์[แก้]

เราสามารถใช้ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีนในการพิสูจน์ข้อความทางทฤษฎีการคำนวณได้หลายๆ ข้อความอย่างกระชับและเป็นธรรมชาติ ยกตัวอย่างเช่น ปัญหาการหยุดทำงาน ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้

สมมติเพื่อข้อขัดแย้งว่ามีเครื่องจักรทัวริง ที่แก้ปัญหาการหยุดทำงาน พิจารณาเครื่องจักร ดังต่อไปนี้

 = "เมื่อได้รับอินพุต 
    1. หาค่า  โดยใช้ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน
    2. ให้  ทำงานบนข้อมูลเข้า 
    3. ถ้า  บอกว่า "หยุดทำงาน" ให้เข้าลูปอนันต์
       ถ้า  บอกว่า "ไม่หยุดทำงาน" ให้หยุดทำงาน

เนื่องจาก ทำงานตรงกันข้ามกับการวินิจฉัยของ เราจึงได้ข้อขัดแย้งและสรุปได้ว่า ไม่มีอยู่จริง

ข้อความอื่นๆ ที่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน เช่น

  • ฟังก์ชันบีเวอร์คนขยันไม่ใช่ฟังก์ชันคำนวณได้
  • ไม่มีเครื่องจักรทัวริงใดทีสามารถ่คำนวณเครื่องจักรทัวริงที่มีขนาดของคำบรรยายสั้นที่สุดที่ำสมมูลกับเครื่องจักรทัวริงที่ให้เป็นข้อมูลเข้าได้
  • สำหรับฟังก์ชันคำนวณได้ ใดๆ ที่ทำการ "ดัดแปลง" เครื่องจักรทัวริงที่ได้รับเป็นข้อมูลเข้า จะมีเครื่องจักรทัวริง ที่ สมมูลกับ

อ้างอิง[แก้]

  • Kleene, Stephen, "On notation for ordinal numbers," The Journal of Symbolic Logic, 3 (1938), 150-155.
  • Sipser, Michael. Introduction to the Theory of Computation. Boston: PWS, 1997.