การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม

การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม (อังกฤษ: Full state feedback ; FSF) หรือ การวางขั้ว (pole placement) ซึ่งเป็นวิธีการออกแบบตัวควบคุมสำหรับป้อนกลับในทฤษฎีระบบควบคุม เพื่อวางขั้วของระบบวงปิดในเป็นไปในตำแหน่งที่ผู้ออกแบบต้องการในระนาบของผลการแปลงลาปลาซ (s-plane) โดยการวางขั้วในที่นี้หมายถึงการกำหนดค่าลักษณะเฉพาะของตัวระบบ (ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ A ในสมการแบบจำลองปริภูมิสถานะ) นั้นมีความเกี่ยวพันกับเสถียรภาพของตัวระบบโดยตรงตามทฤษฎีระบบควบคุมเชิงเส้น และวิธีการนี้ใช้ได้กับเฉพาะระบบที่มีสภาพควบคุมได้เท่านั้น ซึ่งนั้นหมายความว่าในที่นี้เราถือว่าเราสามารถวัดค่าสถานะได้ทุกค่าจากตัวตรวจวัด ซึ่งเป็นกรณีที่อุดมคติมากในความเป็นจริง

หลักการ

ถ้าระบบวงปิดสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการปริภูมิสถานะ ดังนี้แล้ว

${\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}};$

${\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}}$

ดังนั้นขั้ว (pole) ของระบบคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ ที่มีรูปแบบดังนี้

$\left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.$

เมื่อทำการป้อนกลับโดยใช้ค่าสถานะทุกตัว ${\underline {x}}$ แล้ว (เพราะถือว่าเราสามารถวัดค่าสถานะได้ทุกค่าจากตัวตรวจวัด) สัญญาณขาเข้า ${\underline {u}}$ คือ

${\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}$.

แทนค่า ${\underline {u}}$ ข้างต้นลงในสมการสถานะ จะได้ว่า

${\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}};$

${\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.$

ขั้วของระบบที่ได้รับการป้อนกลับแล้วจะหาได้จากสมการลักษณะเฉพาะ $\det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]$ และโดยการเทียบสัมประสิทธิ์ ของสมการนี้กับ สมการลักษณะเฉพาะที่เราต้องการ ผู้ออกแบบก็จะสามารถหาค่าของเมทริกซ์ ${\textbf {K}}$ ที่ใช้ในการควบคุมระบบให้มีขั้วตามสมการลักษณะเฉพาะที่เราต้องการได้

ตัวอย่าง

พิจารณาสมการปริภูมิสถานะ

${\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}$

จะพบว่าเมื่อไม่มีการควบคุมนั้น ตัวระบบวงปิดมีขั้วที่ $s=-1$ และ $s=-2$ แต่ถ้าเราต้องการให้ระบบวงปิดมีขั้วที่ $s=-1$ และd $s=-5$ แทน (ซึ่งมีสมการลักษณะเฉพาะคือ $s^{2}+6s+5=0$ ) .

ขั้นตอนการการป้อนกลับสถานะแบบเต็ม เป็นดังนี้คือ กำหนดให้ ค่าคงที่ $\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}$

และสมการลักษณะเฉพาะของระบบที่ติดตัวแปร $\mathbf {K}$คือ

$\left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1})$.

เมื่อทำการเทียบ สัมประสิทธิ์ของทั้งสองสมการลักษณะเฉพาะแล้วจะได้

$\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}$.

จะเห็นได้ว่าการกำหนดให้ ${\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}$ (ซึ้งก็คือการป้อนสถานะแบบเต็มนั้นเอง) ทำให้ระบบวงปิดมีขั้วและคุณสมบัติตามที่เราต้องการนั้นเอง

หมายเหตุ: ตัวอย่างข้างต้นนี้สำหรับกรณี สัญญาณเข้าทางเดียวและสัญญาณขาออกทางเดียว (Single-Input and Single-Output) เท่านั้น ในกรณี สัญญาณขาเข้าหลายทางและสัญญาณขาออกหลายทาง (Multiple-Input and Multiple-Output) ค่า เมทริกซ์ ${\textbf {K}}$ อาจจะมีได้หลายค่าและให้ผลต่อระบบวงปิดในแบบเดียวกัน ดังนั้นการเลือกใช้ K ที่ดีที่สุดและเหมาะกับสภาพความเป็นจริงของปัญหาก็เป็นอีกประเด้นหนึ่งที่ผู้ออกแบบต้องพิจารณา ซึ่งโดยปรกติแล้วเราจะนิยมใช้วิธีการ linear-quadratic regulator กันมากกว่า

ดูเพิ่ม

• Pole splitting
• Step response
• ทฤษฎีระบบควบคุม
• ระบบควบคุมพีไอดี