การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม (อังกฤษ: Full state feedback ; FSF) หรือ การวางขั้ว (pole placement) ซึ่งเป็นวิธีการออกแบบตัวควบคุมสำหรับป้อนกลับในทฤษฎีระบบควบคุม เพื่อวางขั้วของระบบวงปิดในเป็นไปในตำแหน่งที่ผู้ออกแบบต้องการในระนาบของผลการแปลงลาปลาซ (s-plane) [1] โดยการวางขั้วในที่นี้หมายถึงการกำหนดค่าลักษณะเฉพาะของตัวระบบ (ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ A ในสมการแบบจำลองปริภูมิสถานะ) นั้นมีความเกี่ยวพันกับเสถียรภาพของตัวระบบโดยตรงตามทฤษฎีระบบควบคุมเชิงเส้น และวิธีการนี้ใช้ได้กับเฉพาะระบบที่มีสภาพควบคุมได้เท่านั้น ซึ่งนั้นหมายความว่าในที่นี้เราถือว่าเราสามารถวัดค่าสถานะได้ทุกค่าจากตัวตรวจวัด ซึ่งเป็นกรณีที่อุดมคติมากในความเป็นจริง

หลักการ [2][แก้]

ถ้าระบบวงปิดสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการปริภูมิสถานะ ดังนี้แล้ว

\dot{\underline{x}}=\mathbf{A}\underline{x}+\mathbf{B}\underline{u};
\underline{y} = \mathbf{C}\underline{x}+\mathbf{D}\underline{u}

ดังนั้นขั้ว (pole) ของระบบคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ ที่มีรูปแบบดังนี้


\left|s\textbf{I}-\textbf{A}\right|=0.

เมื่อทำการป้อนกลับโดยใช้ค่าสถานะทุกตัว \underline{x} แล้ว (เพราะถือว่าเราสามารถวัดค่าสถานะได้ทุกค่าจากตัวตรวจวัด) สัญญาณขาเข้า \underline{u} คือ

\underline{u}=-\mathbf{K}\underline{x}.

แทนค่า \underline{u} ข้างต้นลงในสมการสถานะ จะได้ว่า

\dot{\underline{x}}= (\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}) \underline{x};
\underline{y} = (\mathbf{C}-\mathbf{D}\mathbf{K}) \underline{x}.

ขั้วของระบบที่ได้รับการป้อนกลับแล้วจะหาได้จากสมการลักษณะเฉพาะ \det\left[s\textbf{I}-\left (\textbf{A}-\textbf{B}\textbf{K}\right) \right] และโดยการเทียบสัมประสิทธิ์ ของสมการนี้กับ สมการลักษณะเฉพาะที่เราต้องการ ผู้ออกแบบก็จะสามารถหาค่าของเมทริกซ์ \textbf{K} ที่ใช้ในการควบคุมระบบให้มีขั้วตามสมการลักษณะเฉพาะที่เราต้องการได้

ตัวอย่าง[แก้]

พิจารณาสมการปริภูมิสถานะ

\dot{\underline{x}}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3\end{bmatrix}\underline{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}\underline{u}

จะพบว่าเมื่อไม่มีการควบคุมนั้น ตัวระบบวงปิดมีขั้วที่ s=-1 และ s=-2 แต่ถ้าเราต้องการให้ระบบวงปิดมีขั้วที่ s=-1 และd s=-5 แทน (ซึ่งมีสมการลักษณะเฉพาะคือ s^2+6s+5=0 ) .

ขั้นตอนการการป้อนกลับสถานะแบบเต็ม เป็นดังนี้คือ กำหนดให้ ค่าคงที่ \mathbf{K}=\begin{bmatrix} k_1 & k_2\end{bmatrix}

และสมการลักษณะเฉพาะของระบบที่ติดตัวแปร \mathbf{K}คือ

\left|s\mathbf{I}-\left (\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right) \right|=\det\begin{bmatrix}s & -1 \\ 2+k_1 & s+3+k_2 \end{bmatrix}=s^2+ (3+k_2) s+ (2+k_1).

เมื่อทำการเทียบ สัมประสิทธิ์ของทั้งสองสมการลักษณะเฉพาะแล้วจะได้

\mathbf{K}=\begin{bmatrix}3 & 3\end{bmatrix}.

จะเห็นได้ว่าการกำหนดให้ \underline{u}=-\mathbf{K}\underline{x} (ซึ้งก็คือการป้อนสถานะแบบเต็มนั้นเอง) ทำให้ระบบวงปิดมีขั้วและคุณสมบัติตามที่เราต้องการนั้นเอง

หมายเหตุ: ตัวอย่างข้างต้นนี้สำหรับกรณี สัญญาณเข้าทางเดียวและสัญญาณขาออกทางเดียว (Single-Input and Single-Output) เท่านั้น ในกรณี สัญญาณขาเข้าหลายทางและสัญญาณขาออกหลายทาง (Multiple-Input and Multiple-Output) ค่า เมทริกซ์ \textbf{K} อาจจะมีได้หลายค่าและให้ผลต่อระบบวงปิดในแบบเดียวกัน ดังนั้นการเลือกใช้ K ที่ดีที่สุดและเหมาะกับสภาพความเป็นจริงของปัญหาก็เป็นอีกประเด้นหนึ่งที่ผู้ออกแบบต้องพิจารณา ซึ่งโดยปรกติแล้วเราจะนิยมใช้วิธีการ linear-quadratic regulator กันมากกว่า

อ้างอิง[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]