ระบบควบคุมพีไอดี

ระบบควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (อังกฤษ: PID controller) เป็นระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ซึ่งค่าที่นำไปใช้ในการคำนวณเป็นค่าความผิดพลาดที่หามาจากความแตกต่างของตัวแปรในกระบวนการและค่าที่ต้องการ ตัวควบคุมจะพยายามลดค่าผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุดด้วยการปรับค่าสัญญาณขาเข้าของกระบวนการ ค่าตัวแปรของ PID ที่ใช้จะปรับเปลี่ยนตามธรรมชาติของระบบ

แผนภาพบล็อกของการควบคุมแบบพีไอดี

วิธีคำนวณของ PID ขึ้นอยู่กับสามตัวแปรคือค่าสัดส่วน, ปริพันธ์ และ อนุพันธ์ ค่าสัดส่วนกำหนดจากผลของความผิดพลาดในปัจจุบัน, ค่าปริพันธ์กำหนดจากผลบนพื้นฐานของผลรวมความผิดพลาดที่ซึ่งพึ่งผ่านพ้นไป, และค่าอนุพันธ์กำหนดจากผลบนพื้นฐานของอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าความผิดพลาด น้ำหนักที่เกิดจากการรวมกันของทั้งสามนี้จะใช้ในการปรับกระบวนการ

โดยการปรับค่าคงที่ใน PID ตัวควบคุมสามารถปรับรูปแบบการควบคุมให้เหมาะกับที่กระบวนการต้องการได้ การตอบสนองของตัวควบคุมจะอยู่ในรูปของการไหวตัวของตัวควบคุมจนถึงค่าความผิดพลาด ค่าโอเวอร์ชูต (overshoots) และ ค่าแกว่งของระบบ (oscillation) วิธี PID ไม่รับประกันได้ว่าจะเป็นระบบควบคุมที่เหมาะสมที่สุดหรือสามารถทำให้กระบวนการมีความเสถียรแน่นอน

การประยุกต์ใช้งานบางครั้งอาจใช้เพียงหนึ่งถึงสองรูปแบบ ขึ้นอยู่กับกระบวนการเป็นสำคัญ พีไอดีบางครั้งจะถูกเรียกว่าการควบคุมแบบ PI, PD, P หรือ I ขึ้นอยู่กับว่าใช้รูปแบบใดบ้าง

ทฤษฎี

การควบคุมแบบ PID ได้ชื่อตามการรวมกันของเทอมของตัวแปรทั้งสามตามสมการ:

$\mathrm {MV(t)} =\,P_{\mathrm {out} }+I_{\mathrm {out} }+D_{\mathrm {out} }$

เมื่อ

$P_{\mathrm {out} }$, $I_{\mathrm {out} }$, และ $D_{\mathrm {out} }$ เป็นผลของสัญญาณขาออกจากระบบควบคุม PID จากแต่ละเทอมซึ่งนิยามตามรายละเอียดด้านล่าง

สัดส่วน

กราฟ PV ต่อเวลา, K_p กำหนดเป็น 3 ค่า(K_i และ K_d คงที่)

เทอมของสัดส่วน (บางครั้งเรียก อัตราขยาย) จะเปลี่ยนแปลงเป็นสัดส่วนของค่าความผิดพลาด การตอบสนองของสัดส่วนสามารถทำได้โดยการคูณค่าความผิดพลาดด้วยค่าคงที่ K_p, หรือที่เรียกว่าอัตราขยายสัดส่วน

เทอมของสัดส่วนจะเป็นไปตามสมการ:

$P_{\mathrm {out} }=K_{p}\,{e(t)}$

เมื่อ

$P_{\mathrm {out} }$: สัญญาณขาออกของเทอมสัดส่วน

$K_{p}$: อัตราขยายสัดส่วน, ตัวแปรปรับค่าได้

$e$: ค่าความผิดพลาด $=SP-PV$

$t$: เวลา

ผลอัตราขยายสัดส่วนที่สูงค่าความผิดพลาดก็จะเปลี่ยนแปลงมากเช่นกัน แต่ถ้าสูงเกินไประบบจะไม่เสถียรได้ ในทางตรงกันข้าม ผลอัตราขยายสัดส่วนที่ต่ำ ระบบควบคุมจะมีผลตอบสนองต่อกระบวนการน้อยตามไปด้วย

ปริพันธ์

กราฟ PV ต่อเวลา, K_i กำหนดเป็นสามค่า (K_p และ K_d คงที่)

ผลจากเทอมปริพันธ์ (บางครั้งเรียก reset) เป็นสัดส่วนของขนาดความผิดพลาดและระยะเวลาของความผิดพลาด ผลรวมของความผิดพลาดในทุกช่วงเวลา (ปริพันธ์ของความผิดพลาด) จะให้ออฟเซตสะสมที่ควรจะเป็นในก่อนหน้า ความผิดพลาดสะสมจะถูกคูณโดยอัตราขยายปริพันธ์ ขนาดของผลของเทอมปริพันธ์จะกำหนดโดยอัตราขยายปริพันธ์, $K_{i}$.

เทอมปริพันธ์จะเป็นไปตามสมการ:

$I_{\mathrm {out} }=K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }$

เมื่อ

$I_{\mathrm {out} }$: สัญญาณขาออกของเทอมปริพันธ์

$K_{i}$: อัตราขยายปริพันธ์, ตัวแปรปรับค่าได้

$e$: ความผิดพลาด $=SP-PV$

$t$: เวลา

$\tau$: ตัวแปรปริพันธ์หุ่น

เทอมปริพันธ์ (เมื่อรวมกับเทอมสัดส่วน) จะเร่งกระบวนการให้เข้าสู่จุดที่ต้องการและขจัดความผิดพลาดที่เหลืออยู่ที่เกิดจากการใช้เพียงเทอมสัดส่วน แต่อย่างไรก็ตาม เทอมปริพันธ์เป็นการตอบสนองต่อความผิดพลาดสะสมในอดีต จึงสามารถทำให้เกิดโอเวอร์ชูตได้ (ข้ามจุดที่ต้องการและเกิดการหันเหไปทางทิศทางอื่น)

อนุพันธ์

กราฟ PV ต่อเวลา, สำหรับ K_d 3 ค่า (K_p และ K_i คงที่)

อัตราการเปลี่ยนแปลงของความผิดพลาดจากกระบวนการนั้นคำนวณหาจากความชันของความผิดพลาดทุกๆเวลา (นั่นคือ เป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งสัมพันธ์กับเวลา) และคูณด้วยอัตราขยายอนุพันธ์ $K_{d}$ ขนาดของผลของเทอมอนุพันธ์ (บางครั้งเรียก อัตรา) ขึ้นกับ อัตราขยายอนุพันธ์ $K_{d}$

เทอมอนุพันธ์เป็นไปตามสมการ:

$D_{\mathrm {out} }=K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)$

เมื่อ

$D_{\mathrm {out} }$: สัญญาณขาออกของเทอมอนุพันธ์

$K_{d}$: อัตราขยายอนุพันธ์, ตัวแปรปรับค่าได้

$e$: ความผิดพลาด $=SP-PV$

$t$: เวลา

เทอมอนุพันธ์จะชะลออัตราการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณขาออกของระบบควบคุมและด้วยผลนี้จะช่วยให้ระบบควบคุมเข้าสู่จุดที่ต้องการ ดังนั้นเทอมอนุพันธ์จะใช้ในการลดขนาดของโอเวอร์ชูตที่เกิดจาเทอมปริพันธ์และทำให้เสถียรภาพของการรวมกันของระบบควบคุมดีขึ้น แต่อย่างไรก็ตามอนุพันธ์ของสัญญาณรบกวนที่ถูกขยายในระบบควบคุมจะไวมากต่อการรบกวนในเทอมของความผิดพลาดและสามารถทำให้กระบวนการไม่เสถียรได้ถ้าสัญญาณรบกวนและอัตราขยายอนุพันธ์มีขนาดใหญ่เพียงพอ

ผลรวม

เทอมสัดส่วน, ปริพันธ์, และอนุพันธ์ จะนำมารวมกันเป็นสัญญาณขาออกของการควบคุมแบบ PID กำหนดให้ $u(t)$ เป็นสัญญาณขาออก สมการสุดท้ายของวิธี PID คือ:

$\mathrm {u(t)} =\mathrm {MV(t)} =K_{p}{e(t)}+K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)$

รหัสเทียม

รหัสเทียม (อังกฤษ: pseudocode) ของ ขั้นตอนวิธีระบบควบคุมพีไอดี โดยอยู่บนสมมุติฐานว่าตัวประมวลผลประมวลผลแบบขนานอย่างสมบูรณ์แบบ เป็นดังต่อไปนี้

previous_error = setpoint - actual_position
integral = 0
start:
  error = setpoint - actual_position
  integral = integral + (error*dt)
  derivative = (error - previous_error)/dt
  output = (Kp*error) + (Ki*integral) + (Kd*derivative)
  previous_error = error
  wait(dt)
  goto start

การปรับจูน

การปรับจูนด้วยมือ

ถ้าระบบยังคงทำงาน ขั้นแรกให้ตั้งค่า $K_{i}$ และ $K_{d}$ เป็นศูนย์ เพิ่มค่า $K_{p}$ จนกระทั่งสัญญาณขาออกเกิดการแกว่ง (oscillate) แล้วตั้งค่า $K_{p}$ ให้เหลือครึ่งหนึ่งของค่าที่ทำให้เกิดการแกว่งสำหรับการตอบสนองชนิด "quarter amplitude decay" แล้วเพิ่ม $K_{i}$ จนกระทั่งออฟเซตถูกต้องในเวลาที่พอเพียงของกระบวนการ แต่ถ้า $K_{i}$ มากไปจะทำให้ไม่เสถียร สุดท้ายถ้าต้องการ ให้เพิ่มค่า $K_{d}$ จนกระทั่งลูปอยู่ในระดับที่ยอมรับได้ แต่ถ้า $K_{d}$ มากเกินไปจะเป็นเหตุให้การตอบสนองและโอเวอร์ชูตเกินยอมรับได้ ปกติการปรับจูน PID ถ้าเกิดโอเวอร์ชูตเล็กน้อยจะช่วยให้เข้าสู่จุดที่ต้องการเร็วขึ้น แต่ในบางระบบไม่สามารถยอมให้เกิดโอเวอร์ชูตได้ และถ้าค่า $K_{p}$ น้อยเกินไปก็จะทำให้เกิดการแกว่ง

ผลของการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของ PID (K_p,K_i,K_d) บนขั้นของการตอบสนองของระบบ

ผลของการเพิ่มค่าตัวแปรอย่างอิสระ

ตัวแปร	ช่วงเวลาขึ้น (Rise time)	โอเวอร์ชูต (Overshoot)	เวลาสู่สมดุล (Settling time)	ความผิดพลาดสถานะคงตัว (Steady-state error)	เสถียรภาพ
$K_{p}$	ลด	เพิ่ม	เปลี่ยนแปลงเล็กน้อย	ลด	ลด
$K_{i}$	ลด	เพิ่ม	เพิ่ม	ลดลงอย่างมีนัยสำคัญ	ลด
$K_{d}$	เปลี่ยนแปลงเล็กน้อย	ลดลง	ลดลง	ตามทฤษฏีไม่มีผล	ดีขึ้นถ้า $K_{d}$ มีค่าน้อย

วิธีการ

วิธีการนี้นำเสนอโดย John G. Ziegler และ Nathaniel B. Nichols ในคริสต์ทศวรรษที่ 1940 ขั้นแรกให้ตั้งค่า $K_{i}$ และ $K_{d}$ เป็นศูนย์ เพิ่มอัตราขยาย P สูงที่สุด, $K_{u}$, จนกระทั่งเริ่มเกิดการแกว่ง นำค่า $K_{u}$ และค่าช่วงการแกว่ง $P_{u}$ มาหาค่าตัวแปรที่เหลือดังตาราง:

Ziegler–Nichols method

Control Type	$K_{p}$	$K_{i}$	$K_{d}$
P	$0.50{K_{u}}$	-	-
PI	$0.45{K_{u}}$	$1.2{K_{p}}/P_{u}$	-
PID	$0.60{K_{u}}$	$2{K_{p}}/P_{u}$	${K_{p}}{P_{u}}/8$

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีระบบควบคุม
• Feedback
• Instability
• Oscillation
• PI controller

อ้างอิง

• Liptak, Bela (1995). Instrument Engineers' Handbook: Process Control. Radnor, Pennsylvania: Chilton Book Company. pp. 20–29. ISBN 0-8019-8242-1. {{cite book}}: Cite ไม่รู้จักพารามิเตอร์ว่างเปล่า : |coauthors= (help)
• Tan, Kok Kiong (1999). Advances in PID Control. London, UK: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-138-0. {{cite book}}: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |coauthors= ถูกละเว้น แนะนำ (|author=) (help)

• Van, Doren, Vance J. (July 1, 2003). "Loop Tuning Fundamentals". Control Engineering. Red Business Information. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2009-05-03. {{cite journal}}: Cite ไม่รู้จักพารามิเตอร์ว่างเปล่า : |coauthors= (help)
• Sellers, David. "An Overview of Proportional plus Integral plus Derivative Control and Suggestions for Its Successful Application and Implementation" (PDF). คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 2007-03-07. สืบค้นเมื่อ 2007-05-05. {{cite web}}: Cite ไม่รู้จักพารามิเตอร์ว่างเปล่า : |coauthors= (help)

• Graham, Ron (10/03/2005). "FAQ on PID controller tuning". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2005-02-06. สืบค้นเมื่อ 2009-01-05. {{cite web}}: Cite ไม่รู้จักพารามิเตอร์ว่างเปล่า : |coauthors= (help); ตรวจสอบค่าวันที่ใน: |date= (help); ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |oldurl= ถูกละเว้น (help)

แหล่งข้อมูลอื่น

PID tutorials

• PID Tutorial เก็บถาวร 2010-06-15 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• P.I.D. Without a PhD เก็บถาวร 2010-02-09 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน: a beginner's guide to PID loop theory with sample programming code
• What's All This P-I-D Stuff, Anyhow? เก็บถาวร 2007-09-06 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน Article in Electronic Design
• Shows how to build a PID controller with basic electronic components เก็บถาวร 2006-04-17 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน (pg. 22)
• Virtual PID Controller Laboratory
  • PID Design & Tuning เก็บถาวร 2010-08-04 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• ตัวอย่างการประยุกต์ใช้งานตัวควบคุมพีไอดีกับปัญหา Inverted Pendulum โดยมหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน

หัวข้อพิเศษและการประยุกต์ใช้การควบคุมแบบพีไอดี

• Proven Methods and Best Practices for PID Control เก็บถาวร 2011-06-05 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• PID Control Primer เก็บถาวร 2010-02-09 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน Article in Embedded Systems Programming