เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ (Sylvester matrix) คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมสัมประสิทธิ์ของพหุนามสองพหุนามเข้าด้วยกัน เพื่อคำนวณหาคุณสมบัติบางประการของพหุนามเหล่านั้น เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ เป็นชื่อที่ตั้งไว้เพื่อเป็นเกียรติให้กับ เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเตอร์ (James Joseph Sylvester) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ผู้เผยแพร่ทฤษฎีเมทริกซ์

นิยาม[แก้]

กำหนดให้พหุนาม p และ q เป็นพหุนามตัวแปรเดียว z และมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ m และ n ตามลำดับ

เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับพหุนาม p กับ q คือเมทริกซ์มิติ (m+n)×(m+n) ที่มีสมาชิกตามเงื่อนไขต่อไปนี้

  • แถวที่ 1 คือสมาชิกต่อไปนี้ จำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ m+n ตัว
  • แถวที่ 2 คือสมาชิกในแถวที่ 1 ที่เลื่อนวนสมาชิกไปทางขวา 1 ครั้ง ทำให้สมาชิกในหลักแรกเท่ากับ 0
  • แถวต่อๆ ไป คือสมาชิกในแถวก่อนหน้าที่เลื่อนวนไปทางขวาทีละ 1 ครั้ง จนกระทั่งเลข 0 ทั้งหมดไปอยู่ทางซ้าย
  • แถวที่ n+1 คือสมาชิกต่อไปนี้ จำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ m+n ตัว
  • แถวต่อๆ ไปให้ทำการเลื่อนวนเหมือนที่กล่าวไปข้างต้น

ดังนั้นถ้าสมมติให้ m = 4 และ n = 3 เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ของ p กับ q จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

การใช้งาน[แก้]

เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์มีที่ใช้ในพีชคณิตแบบสลับที่ (commutative algebra) เช่นเพื่อทดสอบว่าพหุนามสองพหุนามมีตัวประกอบร่วม (ที่ไม่ใช่ค่าคงตัว) หรือไม่ ซึ่งหากมีตัวประกอบร่วม ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้จะเท่ากับศูนย์ และยังคงเป็นจริงในทางกลับกัน ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์สามารถเรียกได้ว่าเป็นค่าลัพธ์ (resultant) ของพหุนามเหล่านั้น

นอกจากนั้นค่าลำดับชั้น (rank) ของเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ สามารถพิจารณาได้จากดีกรีของตัวหารร่วมมากระหว่าง p กับ q นั่นคือ

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]