เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์

เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ (Sylvester matrix) คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมสัมประสิทธิ์ของพหุนามสองพหุนามเข้าด้วยกัน เพื่อคำนวณหาคุณสมบัติบางประการของพหุนามเหล่านั้น เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ เป็นชื่อที่ตั้งไว้เพื่อเป็นเกียรติให้กับ เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเตอร์ (James Joseph Sylvester) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ผู้เผยแพร่ทฤษฎีเมทริกซ์

นิยาม

กำหนดให้พหุนาม p และ q เป็นพหุนามตัวแปรเดียว z และมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ m และ n ตามลำดับ

$p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m}$

$q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}$

เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับพหุนาม p กับ q คือเมทริกซ์มิติ (m+n)×(m+n) ที่มีสมาชิกตามเงื่อนไขต่อไปนี้

• แถวที่ 1 คือสมาชิกต่อไปนี้ จำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ m+n ตัว

${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

• แถวที่ 2 คือสมาชิกในแถวที่ 1 ที่เลื่อนวนสมาชิกไปทางขวา 1 ครั้ง ทำให้สมาชิกในหลักแรกเท่ากับ 0
• แถวต่อๆ ไป คือสมาชิกในแถวก่อนหน้าที่เลื่อนวนไปทางขวาทีละ 1 ครั้ง จนกระทั่งเลข 0 ทั้งหมดไปอยู่ทางซ้าย
• แถวที่ n+1 คือสมาชิกต่อไปนี้ จำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ m+n ตัว

${\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

• แถวต่อๆ ไปให้ทำการเลื่อนวนเหมือนที่กล่าวไปข้างต้น

ดังนั้นถ้าสมมติให้ m = 4 และ n = 3 เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ของ p กับ q จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

$S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}$

การใช้งาน

เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์มีที่ใช้ในพีชคณิตแบบสลับที่ (commutative algebra) เช่นเพื่อทดสอบว่าพหุนามสองพหุนามมีตัวประกอบร่วม (ที่ไม่ใช่ค่าคงตัว) หรือไม่ ซึ่งหากมีตัวประกอบร่วม ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้จะเท่ากับศูนย์ และยังคงเป็นจริงในทางกลับกัน ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์สามารถเรียกได้ว่าเป็นค่าลัพธ์ (resultant) ของพหุนามเหล่านั้น

นอกจากนั้นค่าลำดับชั้น (rank) ของเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ สามารถพิจารณาได้จากดีกรีของตัวหารร่วมมากระหว่าง p กับ q นั่นคือ

$\deg(\gcd(p,q))=m+n-\operatorname {rank} (S_{p,q})$

ดูเพิ่ม

• เมทริกซ์เบซู (Bézout matrix)
• เมทริกซ์ถ่ายโอน (transfer matrix)
• ค่าลัพธ์ของพหุนาม (resultant)

อ้างอิง

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Sylvester Matrix" จากแมทเวิลด์.