สมบัติมาร์คอฟ

การเคลื่อนที่แบบบราวน์ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งที่มีสมบัติมาร์คอฟ

สมบัติมาร์คอฟ (Markov property) เป็นสมบัติแบบหนึ่งของกระบวนการเฟ้นสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น สมบัตินี้มีแสดงถึงว่า การแจกแจงความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขของสถานะในอนาคตของกระบวนการนั้นขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานะในอดีตใด ๆ นั่นคือ เมื่อพิจารณาจากสถานะที่ผ่านมา สถานะปัจจุบัน (เส้นทางของกระบวนการ) มีความเป็นอิสระมีเงื่อนไข

ชื่อสมบัตินี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย อันเดรย์ มาร์คอฟ

กระบวนการเฟ้นสุ่มที่มีสมบัติมาร์คอฟเรียกว่า กระบวนการมาร์คอฟ และในกรณีที่ตัวแปรสถานะมีค่าไม่ต่อเนื่องจะเรียกว่าเป็น ลูกโซ่มาร์คอฟ

คำว่า "สมมุติฐานมาร์คอฟ" ใช้เพื่ออธิบายแบบจำลองซึ่งสมมุติว่ามีสมบัติมาร์คอฟ เช่น แบบจำลองมาร์คอฟซ่อนเร้น

ภาพรวม

ในทางคณิตศาสตร์ ถ้ากระบวนการเฟ้นสุ่ม X (t) ซึ่ง t > 0 มีสมบัติมาร์คอฟ จะได้ว่า

$$\mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(s)=x(s),\forall s\leq t{\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(t)=x(t){\big ]},\quad \forall h>0$$

สำหรับกระบวนการมาร์คอฟที่เป็นแบบเวลาเอกพันธุ์จะได้ว่า

$$\mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(t)=x{\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(h)=y\,|\,X(0)=x{\big ]},\quad \forall t,h>0$$

หากไม่เป็นเช่นนั้น ก็อาจกล่าวได้ว่าเป็นแบบเวลาไม่เอกพันธุ์ กระบวนการมาร์คอฟแบบเวลาเอกพันธุ์โดยทั่วไปจะง่ายกว่ากระบวนการแบบไม่เอกพันธุ์ และถือเป็นประเภทที่สำคัญที่สุดของกระบวนการมาร์คอฟ

ในความเป็นจริง สิ่งที่ไม่ใช่กระบวนการมาร์คอฟก็อาจถูกแสดงออกเป็นกระบวนการมาร์คอฟได้โดยการขยายต่อแนวคิดของ "สถานะปัจจุบัน" และ "อนาคต" ตัวอย่างเช่น สมมติว่า X เป็นกระบวนการที่ไม่ใช่แบบมาร์คอฟ ในที่นี้ ให้ช่วงเวลาระหว่างสถานะใน X เป็นแต่ละสถานะของกระบวนการ Y ซึ่งสามารถแสดงเป็นตัวเลขได้ดังนี้

$$Y(t)={\big \{}X(s):s\in [a(t),b(t)]\,{\big \}}$$

ถ้า Y มีสมบัติมาร์คอฟ ก็ถือว่านี่เป็นการอธิบายในรูปมาร์คอฟของ X ในกรณีนี้ X เรียกว่ากระบวนการมาร์คอฟอันดับสอง (second-order Markov process) และ กระบวนการมาร์คอฟอันดับสูงก็ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่างของการทำให้กระบวนการที่ไม่ใช่มาร์คอฟแสดงเป็นแบบมาร์คอฟ เช่น เส้นค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ซึ่ง แสดงค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ในรูปของอนุกรมเวลา

กระบวนการมาร์คอฟที่รู้จักกันดีที่สุดคือ ลูกโซ่มาร์คอฟ แต่ก็ยังมีกระบวนการอื่น ๆ มากมาย นอกจากนี้แล้ว การเคลื่อนที่แบบบราวน์ ก็มีสมบัติมาร์คอฟด้วย