สมการเลียปูนอฟ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในทฤษฎีระบบควบคุม

สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง (อังกฤษ: discrete Lyapunov equation) คือสมการในรูปแบบ

โดยที คือ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และ คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของ

ในขณะที่ สมการเลียปูนอฟต่อเนื่อง (อังกฤษ: continuous Lyapunov equation) คือสมการในรูปแบบ

.

สมการเลียปูนอฟมักถูกใช้ในหลายสาขาของทฤษฎีระบบควบคุมเช่น ในการวิเคราะห์เสถียรภาพ และการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control) โดยชื่อของสมการนี้ตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918)


การประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์เสถียรภาพ[แก้]

ในที่นี้เรากำหนดให้ และ และ เป็นเมทริกซ์สมมาตร สัญลักษณ์ หมายถือว่า คือ เมทริกซ์บวกแน่นอน (Positive-definite matrix)

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่อง ถ้ามี และ ที่สามารถทำให้ เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น (linear system) เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable) โดยที่สมการกำลังสอง นั้นจะนิยามเป็น ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (Lyapunov function) ซึ่งใช้ในการตวรจสอบเสถียรภาพของระบบ

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง ถ้ามี และ ที่สามารถทำให้ เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ และ นั้นคือฟังก์ชันเลียปูนอฟ

แง่มุมในการคำนวณ[แก้]

สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่องสามารถใช้ ส่วนเติมเต็มชูร์ (Schur complement) ในการคำนวณได้ดังขั้นตอนวิธีที่แสดงข้างล่างนี้

ซึ่งสมมูลกับ

.

นอกจากนี้ยังมีซอฟต์แวร์เฉพาะทางให้เลือกใช้ในการคำนวณสมการเลียปูนอฟ โดยในกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง วิธีการของชูร์โดยกิตากาวา (Schur method of Kitagawa) [1] มักเป็นที่นิยม ในขณะที่กรณีสมการเลียปูนอฟต่อเนื่องวิธีการของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎[2] สามารถใช้ได้เช่นกัน

ผลตอบเชิงวิเคราะห์[แก้]

เราสามารถหาผลตอบเชิงวิเคราะห์ (analytic solution) สำหรับกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง โดนนิยามให้ เป็นตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ของเมทริกซ์ และนิยาม เป็น ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) ระหว่าง และ และโดยการใช้ผลจาก , เราสามารถใช้ เมื่อ คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ conformable [3] จากนั้นเราสามารถแก้สมการสำหรับหาค่าของ โดยการหาเมทริกซ์ผกผันหรือการแก้สมการเชิงเส้น โดยในการได้มาซึ่งค่า ต้องมีการปรับขนาดของ อย่างเหมาะสมด้วย

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  1. Kitagawa, An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S, International Journal of Control, Vol. 25, No. 5, p745–753 (1977).
  2. R. H. Bartels and G. W. Stewart, Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C, Comm. ACM, 15 (1972), p820-826.
  3. J. Hamilton (1994), Time Series Analysis, equations 10.2.13 and 10.2.18. Princeton University Press.

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]