สมการซิลเวสเตอร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

สมการซิลเวสเตอร์ (อังกฤษ: Sylvester equation) มักพบในทฤษฎีระบบควบคุม คือสมการเมทริกซ์ ในรูปแบบ

A X + X B = C,

โดยที่ A,B,X,C คือ n \times n เมทริกซ์ A,B,C เป็นเมทริกซ์ทราบค่า และ X คือเมทริกซ์ตัวแปรที่เราต้องการหาค่า

เงื่อนไขการมีอยู่และความเป็นได้อย่างเดียวของผลตอบ[แก้]

โดยใช้ ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) และตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ vectorization operator (\operatorname{vec}) เราสามารถเขียนสมการในรูปแบบใหม่ได้เป็น

 (I_n \otimes A +  B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,

โดยที่ I_n คือ n \times n เมทริกซ์เอกลักษณ์ ในรูปแบบนี้เราจะเห็นได้ว่า สมการซิลเวสเตอร์ สามารถเขียนได้อยู่ในรูป ระบบเชิงเส้น ที่มีมิติขนาด n^2 \times n^2
หมายเหตุ: อย่างไรก็ดีการเขียนสมการซิลเวสเตอร์ ในรูปแบบนี้ไม่เป็นที่แนะนำกับการใช้ในการหาผลตอบเชิงเลข (numerical solution) เพราะเป็นการใช้ขั้นตอนการคำนวณที่มากเกินไปและจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดได้

ถ้า A=ULU^{-1} และ B^T=VMV^{-1} อยู่ในรูปแบบบัญญัติจอร์แดน (Jordan canonical form) ของ A และ B^T แล้ว และ \lambda_i และ \mu_j คือค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของ A และ B^T ตามลำดับ แล้ว เราสามารถเขียนสมการในรูป

I_n \otimes A +  B^T \otimes I_n = (V\otimes U) (I_n \otimes L +  M \otimes I_n) (V \otimes U) ^{-1}.

เนื่องจาก  (I_n \otimes L +  M \otimes I_n) คือ เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (upper triangular) ที่มีสมาชิกตามแนวทแยงเป็น \lambda_i+\mu_j เมทริกซ์ด้านซ้ายมือจะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ก็ต่อเมื่อ มี i และ j ที่ทำให้ \lambda_i=-\mu_j.

ดังนั้น เราสามารถพิสูจน์ว่าสมการซิลเวสเตอร์มีคำตอบที่ไม่ซ้ำ (unique solution) ก็ต่อเมื่อ Aและ -B ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่ร่วมกัน

คำตอบเชิงเลข[แก้]

ขั้นตอนวิธีของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎ (Bartels–Stewart algorithm) สามารถหาคำตอบของสมการซิลเวสเตอร์ โดยการเปลี่ยน A และ B ให้อยู่ในรูปของแบบของชูร์ (Schur form) โดยใช้ ขั้นตอนวิธีคิวอาร์ (QR algorithm) และต่อมาแก้สมการที่ติดในรูปเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนด้วย back-substitution ขั้นตอนวิธีดั้งกล่าวมีค่า O  (n^3)

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  • J. Sylvester, Sur l’equations en matrices px = xq, C.R. Acad. Sci. Paris, 99 (1884), pp. 67 – 71, pp. 115 – 116.
  • R. H. Bartels and G. W. Stewart, Solution of the matrix equation AX +XB = C, Comm. ACM, 15 (1972), pp. 820 – 826.
  • R. Bhatia and P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation AX -XB = Y  ?, Bull. London Math. Soc., 29 (1997), pp. 1 – 21.
  • S.-G. Lee and Q.-P. Vu, Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum, Linear Algebra and its Applications, 435 (2011), pp. 2097 – 2109.


แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]