ฟังก์ชันเครื่องหมาย

กราฟของฟังก์ชันเครื่องหมาย

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเครื่องหมาย (อังกฤษ: sign function) คือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งที่ดึงเครื่องหมายออกมาจากจำนวนจริง เขียนแทนด้วย sgn และเพื่อไม่ให้สับสนกับฟังก์ชันไซน์ (sine) ซึ่งออกเสียงเหมือนกันในภาษาอังกฤษ ฟังก์ชันนี้จึงเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ซินยุม หรือ ซิกนัม (signum) มาจากภาษาละติน

นิยาม

นิยามของฟังก์ชันเครื่องหมายมีดังนี้ เมื่อ x เป็นจำนวนจริง

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

สมบัติต่างๆ

สำหรับจำนวนจริง x ใดๆ สามารถแสดงให้อยู่ในรูปผลคูณระหว่างค่าสัมบูรณ์กับฟังก์ชันเครื่องหมาย

$x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|\,\!$

จากสมการดังกล่าว เราจะได้ความหมายของฟังก์ชันเครื่องหมายอีกอย่างหนึ่ง เมื่อ x ไม่เท่ากับ 0

$\operatorname {sgn}(x)={x \over |x|}$

ฟังก์ชันเครื่องหมายคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งประเมินค่าไม่ได้ที่ 0)

${d|x| \over dx}={x \over |x|}\,\!$

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดยกเว้นจุด 0 แต่สำหรับการหาอนุพันธ์ในทฤษฎีการกระจาย อนุพันธ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายมีค่าเป็นสองเท่าของฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function)

${d\ \operatorname {sgn}(x) \over dx}=2\delta (x)\,\!$

ฟังก์ชันเครื่องหมายมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮฟวีไซด์ (Heaviside step function) H_1/2(x) นั่นคือ

$\operatorname {sgn}(x)=2H_{1/2}(x)-1\,\!$

เมื่อเลข 1/2 ของฟังก์ชันขั้นบันไดหมายถึง H_1/2(0) = 1/2 ฟังก์ชันเครื่องหมายยังสามารถเขียนโดยใช้สัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอีเวอร์สัน (Iverson bracket) ดังนี้

$\operatorname {sgn}(x)=-[x<0]+[x>0]\,\!$

สำหรับ k ≫ 0 การประมาณค่าโดยละเอียดของฟังก์ชันขั้นบันไดดังกล่าวหาได้จาก

$\operatorname {sgn}(x)\approx \tanh(kx)$

ฟังก์ชันบนจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถอธิบายบนจำนวนเชิงซ้อน z ใดๆ ยกเว้น 0 ได้ดังนี้

$\operatorname {sgn}(z)={z \over |z|}$

ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นจุดจุดหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ใกล้กับ z มากที่สุดบนระนาบเชิงซ้อน นั่นคือ

$\operatorname {sgn}(z)=\exp(i\arg z)\,\!$

โดยที่ arg z คืออาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนของ z เนื่องจากเหตุผลของความสมมาตร และเพื่อรักษานัยทั่วไปที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายบนจำนวนจริง ดังนั้นบนจำนวนเชิงซ้อนก็มีการกำหนดให้ sgn 0 = 0 ด้วย

การวางนัยทั่วไปอีกแบบหนึ่งของฟังก์ชันเครื่องหมายสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนคือ csgn ซึ่งนิยามโดย

$\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1&{\text{if }}\Re (z)>0\vee (\Re (z)=0\land \Im (z)>0),\\-1&{\text{if }}\Re (z)<0\vee (\Re (z)=0\land \Im (z)<0),\\0&{\text{if }}\Re (z)=\Im (z)=0.\end{cases}}$

ซึ่งเราจะได้สมบัติดังนี้ (ยกเว้นค่า z = 0)

$\operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}$

ฟังก์ชันเครื่องหมายแบบนัยทั่วไป

ที่จำนวนจริง x เราสามารถสร้างฟังก์ชันเครื่องหมายในรูปแบบของฟังก์ชันนัยทั่วไป (generalized function) คือ $\varepsilon (x)$ โดยนิยามให้ $\varepsilon (x)^{2}=1$ บนทุกๆ ค่าของ x รวมทั้งจุดที่ x = 0 (ซึ่งต่างกับ sgn คือ $sgn(0)^{2}=0$) และถึงแม้ว่าฟังก์ชันนัยทั่วไปนี้สามารถทำให้เกิดพีชคณิตของฟังก์ชันได้ แต่จะเสียสมบัติการสลับที่ไป โดยเฉพาะฟังก์ชันเดลตาของดิแร็กที่เป็นคู่ต่างสลับที่ของฟังก์ชันนี้

$\varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,\!$

นอกจากนั้น $\varepsilon (x)$ ไม่สามารถประเมินค่าได้ที่ x = 0 ดังนั้นความหมายของ $\varepsilon$ จึงสำคัญที่จะแยกแยะออกจากฟังก์ชัน sgn (นั่นคือ $\varepsilon (0)$ ไม่นิยาม แต่ในขณะที่ sgn(0) = 0)

ดูเพิ่ม

• จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ
• ค่าสัมบูรณ์
• ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangular function)