ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไบยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ฟังก์ชันคู่ (even functions) และฟังก์ชันคี่ (odd functions) คือ ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติเกี่ยวกับความสมมาตร ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่มีความสำคัญในคณิตวิเคราะห์หลายสาขา โดยเฉพาะเรื่องอนุกรมกำลัง และอนุกรมฟูรีเย

ฟังก์ชันคู่[แก้]

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรที่เป็นจำนวนจริง f จะเป็นฟังก์ชันคู่ ถ้าสมการต่อไปนี้เป็นจริง สำหรับทุกค่า x:

f(−x) = f(x)

ตีความในเชิงเรขาคณิตได้ว่า กราฟของฟังก์ชันนี้สมมาตรกับแกน y หมายความว่า ถ้าเราสะท้อนกราฟกับแกน y เราก็ยังได้กราฟรูปเดิม

ตัวอย่างของฟังก์ชันคู่ ได้แก่ | x |, x2, x4, cos(x), และ cosh(x)

ฟังก์ชันคี่[แก้]

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรที่เป็นจำนวนจริง f จะเป็นฟังก์ชันคี่ ถ้าสมการต่อไปนี้เป็นจริง สำหรับทุกค่า x:

f(−x) = −f(x)

ตีความในเชิงเรขาคณิตได้ว่า กราฟของฟังก์ชันนี้สมมาตรกับจุดกำเนิด (origin) หมายความว่า ถ้าเราหมุนกราฟไป 180 องศา รอบจุดกำเนิด เราก็ยังได้กราฟรูปเดิม

ตัวอย่างของฟังก์ชันคี่ ได้แก่ x3, sin(x), และ sinh(x)

ข้อเท็จจริง[แก้]

คุณสมบัติพื้นฐาน[แก้]

  • ฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ มีเพียงฟังก์ชันเดียว ได้แก่ ฟังก์ชันที่เป็นศูนย์เสมอ (f(x) = 0 สำหรับทุกค่า x)
  • ผลบวกของฟังก์ชันคู่กับฟังก์ชันคี่ จะไม่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่
  • ผลบวกของฟังก์ชันคู่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคู่, ฟังก์ชันคู่คูณกับค่าคงที่ จะเป็นฟังก์ชันคู่
  • ผลบวกของฟังก์ชันคี่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคี่, ฟังก์ชันคี่คูณกับค่าคงที่ จะเป็นฟังก์ชันคี่
  • ผลคูณของฟังก์ชันคู่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคู่
  • ผลคูณของฟังก์ชันคี่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคู่
  • ผลคูณของฟังก์ชันคู่กับฟังก์ชันคี่ จะเป็นฟังก์ชันคี่
  • อนุพันธ์ของฟังก์ชันคู่ จะเป็นฟังก์ชันคี่
  • อนุพันธ์ของฟังก์ชันคี่ จะเป็นฟังก์ชันคู่

ดูเพิ่ม[แก้]