อนุกรมฟูรีเย

อนุกรมฟูรีเย ตั้งชื่อตาม โฌแซ็ฟ ฟูรีเย อนุกรมฟูรีเยเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูรีเย นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป

$x\mapsto e^{inx}$

ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ e^{i x} หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์

ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย

นิยาม

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

อนุกรมฟูรีเย	สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}.$	$\qquad F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx.$
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) $e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx) \,\!$ เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ $\cos(nx) \,\!$ และ $\sin(nx) \,\!$
$f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$	$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx$ $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx$
โดยที่ $F_n = (a_n - i b_n) / 2 \,$, $F_{-n} = F_n^*$ และ $F_{0} = a_0 / 2\,$

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชัน $\, f(x) = x \,$ สำหรับค่า $x \in (-\pi,\pi)$ และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)

$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\, dx= 0,$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0,$

$b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx$

$=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\, dx= \frac{2}{\pi}\left( \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi} \right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}$

สังเกตว่า a₀ และ a_n มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:

$f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$

$=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)$

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2

ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ