อนุกรมฟูรีเย

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

อนุกรมฟูรีเย (อังกฤษ: Fourier series) เป็นอนุกรมที่แต่ละพจน์เป็นผลคูณระหว่างสัมประสิทธิ์และฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยทั่วไปอนุกรมฟูรีเยสามารถใช้เป็นอนุกรมแทนฟังก์ชันคาบได้

ประวัติ[แก้]

ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย

อนุกรมฟูรีเยตั้งชื่อตามโฌแซ็ฟ ฟูรีเย ผู้ริเริ่มใช้อนุกรมฟูรีเยเพื่อใช้แก้สมการความร้อนบนแผ่นโลหะ[1]

นิยาม[แก้]

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

อนุกรมฟูรีเย สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ และ

โดยที่ , และ

ตัวอย่าง[แก้]

พิจารณาฟังก์ชัน สำหรับค่า และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป

Fxeqx.png

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)

สังเกตว่า a0 และ an มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2

ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ


อ้างอิง[แก้]

  1. Simmons, George F. (2017). Differential equations with applications and historical notes (3rd ed.). Boca Raton: Taylor & Francis Inc. pp. 299–300. ISBN 978-1-4987-0259-1. OCLC 961248509.