อนุกรมฟูรีเย

อนุกรมฟูรีเย ตั้งชื่อตาม โฌแซ็ฟ ฟูรีเย อนุกรมฟูรีเยเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูรีเย นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป

$x\mapsto e^{inx}$$x\mapsto e^{inx}$

ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ e^{i x} หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์

ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย

นิยาม

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

อนุกรมฟูรีเย	สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx}.$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx}.$	$\qquad F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx.$$\qquad F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx.$
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) $e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,\!$$e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,\!$ เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ $\cos(nx)\,\!$$\cos(nx)\,\!$ และ $\sin(nx)\,\!$$\sin(nx)\,\!$
$f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right]$$f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right]$	$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx$$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx$ $b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx$$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx$
โดยที่ $F_{n}=(a_{n}-ib_{n})/2\,$$F_{n}=(a_{n}-ib_{n})/2\,$, $F_{-n}=F_{n}^{*}$$F_{-n}=F_{n}^{*}$ และ $F_{0}=a_{0}/2\,$$F_{0}=a_{0}/2\,$

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชัน $\,f(x)=x\,$$\,f(x)=x\,$ สำหรับค่า $x\in (-\pi ,\pi )$$x\in (-\pi ,\pi )$ และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)

$a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\,dx=0,$$a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\,dx=0,$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,$$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,dx$$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,dx$

$={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }x\sin(nx)\,dx={\frac {2}{\pi }}\left(\left[-{\frac {x\cos(nx)}{n}}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right]_{0}^{\pi }\right)=(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}$$={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }x\sin(nx)\,dx={\frac {2}{\pi }}\left(\left[-{\frac {x\cos(nx)}{n}}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right]_{0}^{\pi }\right)=(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}$

สังเกตว่า a₀ และ a_n มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:

$f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))$$f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))$

$=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )$$=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )$

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2

ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ