รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
รูปนี้เป็นชนิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก เพราะมุมของมันไม่เป็นมุมฉาก
ชนิด	รูปสี่เหลี่ยม
ขอบและจุดยอด	4
กรุปสมมาตร	C2 (2)
พื้นที่	B × H; ab sin θ
สมบัติ	รูปหลายเหลี่ยมนูน

ในทางเรขาคณิต รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนสองคู่ ในบริบทของเรขาคณิตแบบยูคลิด ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวเท่ากัน และมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน ความสมนัยของด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามเป็นผลทางตรงจากสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิด (Euclidean Parallel Postulate) นั่นคือไม่มีเงื่อนไขอันใดที่สามารถพิสูจน์โดยไม่อ้างถึงสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิดหรือบทบัญญัติเทียบเท่า

รูปทรงที่คล้ายกันในสามมิติคือทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ประเภท

• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก (rhomboid) คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมภายในไม่เป็นมุมฉาก ความหมายตรงข้ามกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
• รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมภายในทุกมุมเท่ากัน (มุมฉาก)
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน
• รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากันและมุมภายในทุกมุมเท่ากัน (มุมฉาก)

การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD

การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน กระทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทรูปสามเหลี่ยมสมภาค (เท่ากันทุกประการ) ดังนี้

$\angle ABE\cong \angle CDE$ (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)

$\angle BAE\cong \angle DCE$ (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)

เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่ลากผ่านเส้นขนาน AB และ DC

นอกจากนี้ ด้าน AB ก็ยาวเท่ากับ DC เนื่องจากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน

เพราะฉะนั้นรูปสามเหลี่ยม ABE กับรูปสามเหลี่ยม CDE เท่ากันทุกประการด้วยสัจพจน์ มุม-ด้าน-มุม ดังนั้นจะได้

$AE=CE\,$

$BE=DE\,$

เนื่องจากเส้นทแยงมุม AC กับ BD ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันในแต่ละเส้น จึงสรุปว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

สูตรพื้นที่

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแสดงด้วยสีฟ้า

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามที่ปรากฏในภาพ (แสดงด้วยสีฟ้า) คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดหักออกด้วยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูป (แสดงด้วยสีส้ม) เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากคือ

$A_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,$

และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปคือ

$A_{\text{tri}}={\frac {1}{2}}A\times H\,$

ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ

${\begin{aligned}\mathrm {Area} &=A_{\text{rect}}-2\times A_{\text{tri}}\\&=\left((B+A)\times H\right)-\left(A\times H\right)\\&=B\times H\\\end{aligned}}$

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ a และ b และทำมุม θ สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งคือ

${\text{Area}}=ab\sin \theta \,$

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ a และ b โดยที่ a ≠ b และเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นตัดกันทำมุม γ คำนวณได้จากสูตรนี้

${\text{Area}}={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|$

พื้นที่บนระบบพิกัด

กำหนดให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก

$V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}=|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|$

กำหนดให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ n มิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก

$V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}={\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}$

กำหนดให้จุด a, b, c เป็นจุดในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดยอดทั้งสามสามารถคำนวณได้ดังนี้

$V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}=|\det(V)|$

ดูเพิ่ม

• กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหลักมูล

แหล่งข้อมูลอื่น

• Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Parallelogram" จากแมทเวิลด์.
• Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
• Area of Parallelogram at cut-the-knot
• Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
• Definition and properties of a parallelogram with animated applet
• Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet