ผลต่างระหว่างรุ่นของ "จำนวนฟีโบนัชชี"
Tropicalkitty (คุย | ส่วนร่วม) ย้อนการแก้ไขที่ 8006569 สร้างโดย 183.89.206.64 (พูดคุย) ป้ายระบุ: ทำกลับ |
ไม่มีความย่อการแก้ไข ป้ายระบุ: แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่ แก้ไขจากเว็บสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่ |
||
บรรทัด 14: | บรรทัด 14: | ||
ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาว[[อิตาลี]]ชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนาม[[เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี|ฟีโบนัชชี]] (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13 |
ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาว[[อิตาลี]]ชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนาม[[เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี|ฟีโบนัชชี]] (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13 |
||
มึงเจอกูแน่ |
|||
== รูปปิด == |
|||
เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วย[[ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด]]เชิงเส้น เราจึงสามารถหา[[รูปปิด]]ของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า ''สูตรของ[[จาค ฟิลิปป์ มารี บิเนต์|บิเนต์]]'' มีดังต่อไปนี้ |
|||
:<math>F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}</math> |
|||
โดย <math>\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1.618</math> เป็นตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่า[[อัตราส่วนทองคำ]] |
|||
'''การพิสูจน์:''' |
|||
พิจารณาสมการพหุนาม <math>x^2=x+1</math> เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย <math>x^{n-1}</math> เราได้ว่า |
|||
:<math>x^{n+1} = x^n + x^{n-1}\,</math> |
|||
ผลเฉลยของสมการ <math>x^2=x+1</math> ได้แก่ <math>\varphi</math> และ <math>1-\varphi</math> ดังนั้น |
|||
:{| |
|||
|<math>\varphi^{n+1} \,</math> || = <math>\varphi^n + \varphi^{n-1}\,</math> และ |
|||
|- |
|||
|<math>(1-\varphi)^{n+1}\,</math> || = <math>(1-\varphi)^n + (1-\varphi)^{n-1}\,</math> |
|||
|} |
|||
พิจารณาฟังก์ชัน |
|||
:<math>F_{a,b}(n) = a\varphi^n+b(1-\varphi)^n</math> เมื่อ <math>a</math> และ <math>b</math> เป็นจำนวนจริงใดๆ |
|||
เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนบังเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี |
|||
:{| |
|||
|<math>F_{a,b}(n+1)\,</math>||<math> = a\varphi^{n+1}+b(1-\varphi)^{n+1}</math> |
|||
|- |
|||
| ||<math>=a(\varphi^{n}+\varphi^{n-1})+b((1-\varphi)^{n}+(1-\varphi)^{n-1})</math> |
|||
|- |
|||
| ||<math>=a{\varphi^{n}+b(1-\varphi)^{n}}+a{\varphi^{n-1}+b(1-\varphi)^{n-1}}</math> |
|||
|- |
|||
| ||<math>=F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,</math> |
|||
|} |
|||
เลือก <math>a=1/\sqrt 5</math> and <math>b=-1/\sqrt 5</math> เราได้ว่า |
|||
:<math>F_{a,b}(0)=\frac{1}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}=0=F(0)\,\!</math> |
|||
และ |
|||
:<math>F_{a,b}(1)=\frac{\varphi}{\sqrt 5}-\frac{(1-\varphi)}{\sqrt 5}=\frac{-1+2\varphi}{\sqrt 5}=\frac{-1+(1+\sqrt 5)}{\sqrt 5}=1=F(1)</math> |
|||
เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นฐานของ[[การพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์]]ของข้อความ <math>F_{a,b}(n) = F(n)</math> และใช้เอกลักษณ์ของ <math>F_{a,b}</math> พิสูจน์กรณีอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า |
|||
:<math>F(n)={{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}</math> สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ <math>n</math> ทุกตัว |
|||
เนื่องจาก <math>|1-\varphi|^n/\sqrt 5 < 1/2</math> สำหรับทุกๆ <math>n>0\,\!</math> เราจึงได้ว่า <math>F_n\,\!</math> จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ <math>\varphi^n/\sqrt 5</math> ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้[[ฟังก์ชันพื้น]] (floor function) ได้ว่า |
|||
:<math>F(n)=\bigg\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\bigg\rfloor</math> |
|||
== ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ == |
== ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ == |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 10:03, 18 ธันวาคม 2561
จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci number) คือจำนวนต่าง ๆ ที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้
- 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ลำดับ A000045)
โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า ลำดับฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci sequence)
หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ Fn ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามขึ้นด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้
โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้ [1]
ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13
มึงเจอกูแน่
ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ
โยฮันน์ เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ กล่าวคือ
- ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ
การพิสูจน์:
สำหรับจำนวนจริง เราได้ว่า
,
เนื่องจาก ดังนั้น
เนื่องจากจำนวนฟีโบนัชชีคือ เมื่อ และ ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย
รูปเมทริกซ์
ระบบสมการความแตกต่างเชิงเส้นที่อธิบายลำดับฟีโบนัชชีได้คือ
และมีรูปปิดคือ
ด้วยรูปปิดดังกล่าว การคำนวณค่าฟีโบนัชชีจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้จำนวนการดำเนินการเลขคณิต O(log n) หรือใช้เวลา O(M(n) log(n)) โดยที่ M(n) คือเวลาในการคูณเลข n หลัก 2 ตัว[2] โดยใช้วิธียกกำลังโดยการยกกำลังสอง กล่าวคือ
เมื่อให้ x เป็นเมทริกซ์ จึงสามารถหาค่า Fn ได้ในเวลาที่กล่าวไว้แล้ว
ลำดับฟิโบนัชชีในธรรมชาติ
สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก
นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี
การนำไปใช้
จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน
ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท
จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ
ตัวกำเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟีโบนัชชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม
จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา ของ เบลา บาท็อก, และเพลงแลเทอราทัส ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")
อ้างอิง
- ↑ Lucas p. 3
- ↑ Dijkstra, Edsger W. (1978), In honour of Fibonacci (PDF).
- Ball, Keith M. (2003). "Chapter 8: Fibonacci's Rabbits Revisited". Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton University Press. ISBN 0691113211.
- Lucas, Édouard (1891). Théorie des nombres. Vol. 1. Gauthier-Villars.
- Arakelian, Hrant (2014), Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)