จำนวนปิโซ-วิชยรฆวัน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

จำนวนปิโซ-วิชยรฆวัน หรือ จำนวนปิโซ (อังกฤษ: Pisot-Vijayaraghavan number) ในทางคณิตศาสตร์ เป็นจำนวนพีชคณิตที่มีค่ามากกว่า 1 แต่สังยุคทุกตัวมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1

ตัวอย่างเช่น ถ้า α เป็นจำนวนอตรรกยะดีกรีสอง จะมีสังยุคเพียวตัวเดียว คือ α' ซึ่งเกิดจากการเปลี่ยนเครื่องหมายของรากใน α จาก \alpha = a + b \sqrt d เป็น \alpha' = a - b \sqrt d

ซึ่งเงื่อนไขการเป็นจำนวนปิโซ-วิชยรฆวันคือ \alpha > 1 และ -1 < \alpha'< 1

เราพบว่า อัตราส่วนทอง φ สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว เนื่องจาก

\varphi = \frac{1 + \sqrt 5}{2} > 1

และ

-1 < \varphi' = \frac{1 - \sqrt 5} 2 < 1

ผลบวกของกำลังของจำนวนปิโซ-วิชยรฆวัน และกำลังของสังยุคจะมีค่าเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น เราจึงสามารถสร้างจำนวนเกือบเต็มขึ้นจากกำลังสูง ๆ ของจำนวนปิโซ-วิชยรฆวันได้

จำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดคือรากที่เป็นจำนวนจริงของพหุนาม x^3-x-1 หรือมีค่าประมาณ 1.324718 ซึ่งรู้จักกันในชื่อ จำนวนพลาสติก

รายชื่อจำนวนปิโซ-วิชยรฆวัน[แก้]

จำนวนปิโซ-วิชยรฆวัน ที่มีค่าน้อยกว่าอัตราส่วนทอง มีทั้งหมด 38 จำนวน ดังนี้

ค่า รากของสมการ
1 1.3247179572447460260 x^3-x-1
2 1.3802775690976141157 x^4-x^3-1
3 1.4432687912703731076 x^5-x^4-x^3+x^2-1
4 1.4655712318767680267 x^3-x^2-1
5 1.5015948035390873664 x^6-x^5-x^4+x^2-1
6 1.5341577449142669154 x^5-x^3-x^2-x-1
7 1.5452156497327552432 x^7-x^6-x^5+x^2-1
8 1.5617520677202972947 x^6-2x^5+x^4-x^2+x-1
9 1.5701473121960543629 x^5-x^4-x^2-1
10 1.5736789683935169887 x^8-x^7-x^6+x^2-1
11 1.5900053739013639252 x^7-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
12 1.5911843056671025063 x^9-x^8-x^7+x^2-1
13 1.6013473337876367242 x^7-x^6-x^4-x^2-1
14 1.6017558616969832557 x^{10}-x^9-x^8+x^2-1
15 1.6079827279282011499 x^9-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
16 1.6081283851873869594 x^{11}-x^{10}-x^9+x^2-1
17 1.6119303965641198198 x^9-x^8-x^6-x^4-x^2-1
18 1.6119834212464921559 x^{12}-x^{11}-x^{10}+x^2-1
19 1.6143068232571485146 x^{11}-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
20 1.6143264149391271041 x^{13}-x^{12}-x^{11}+x^2-1
21 1.6157492027552106107 x^{11}-x^{10}-x^8-x^6-x^4-x^2-1
22 1.6157565175408433755 x^{14}-x^{13}-x^{12}+x^2-1
23 1.6166296843945727036 x^{13}-x^{11}-x^{10}-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
24 1.6166324353879050082 x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^2-1
25 1.6171692963550925635 x^{13}-x^{12}-x^{10}-x^8-x^6-x^4-x^2-1
26 1.6171703361720168476 x^{16}-x^{15}-x^{14}+x^2-1
27 1.6175009054313240144 x^{15}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
28 1.6175012998129095573 x^{17}-x^{16}-x^{15}+x^2-1
29 1.6177050699575566445 x^{15}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^8-x^6-x^4-x^2-1
30 1.6177052198884550971 x^{18}-x^{17}-x^{16}+x^2-1
31 1.6178309287889738637 x^{17}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
32 1.6178309858778122988 x^{19}-x^{18}-x^{17}+x^2-1
33 1.6179085817671650120 x^{17}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^8-x^6-x^4-x^2-1
34 1.6179086035278053858 x^{20}-x^{19}-x^{18}+x^2-1
35 1.6179565199535642392 x^{19}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
36 1.6179565282539765702 x^{21}-x^{20}-x^{19}+x^2-1
37 1.6179861253852491516 x^{19}-x^{18}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^8-x^6-x^4-x^2-1
38 1.6179861285528618287 x^{22}-x^{21}-x^{20}+x^2-1

อ้างอิง[แก้]

  • M.J. Bertin, A. Decomps-Guilloux, M. Grandet-Hugot, M. Pathiaux-Delefosse, J.P. Schreiber, "Pisot and Salem Numbers" , Birkhäuser (1992)
  • D.W. Boyd, "Pisot and Salem numbers in intervals of the real line" Math. Comp. , 32 (1978) pp. 1244–1260