ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
พื้นผิวกระชับในสองมิติจะสมานสัณฐานกับทรงกลมหากทุกลูปบนพื้นผิวสามารถหดเข้าหากันอย่างต่อเนื่องจนกลายเป็นจุดได้ ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเสนอว่าข้อความข้างต้นเป็นจริงสำหรับพื้นผิวสามมิติ

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสาขาทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร (อังกฤษ: Poincaré conjecture) เป็นทฤษฎีบทจัดประเภทสำหรับทรงกลม 3 มิติ ซึ่งเป็นกรณีหนึ่งของไฮเปอร์สเฟียร์ล้อมรอบบอลหนึ่งหน่วยในปริภูมิ 4 มิติ

ผู้เสนอข้อความคาดการณ์นี้คือ อองรี ปวงกาเร เป็นครั้งแรกในปี 1904 ปวงกาเรสนใจปริภูมิที่เหมือนปริภูมิสามมิติในบริเวณเล็ก ๆ ที่ซึ่งปริภูมิทั้งหมดมีขนาดจำกัด ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรระบุว่าถ้าปริภูมิเช่นนั้นมีสมบัติเพิ่มเติมไปอีกว่าทุกลูปในปริภูมิดังกล่าวสามารถรัดเข้าหากันอย่างต่อเนื่องจนกระทั่งกลายเป็นจุดได้ แล้วรูปทรงนั้นจะต้องเหมือนกับทรงกลม 3 มิติ ความพยายามพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวนำไปสู่ความก้าวหน้าในคณิตศาสตร์สาขาทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตตลอดช่วงศตวรรษที่ 20

ในท้ายที่สุด กริกอรี เพเรลมาน พิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้ได้สำเร็จ เขาเสนอบทพิสูจน์ในเอกสารที่ไม่ได้ตีพิมพ์บนเว็ปไซต์ arXiv ในช่วงปี 2002 ถึง 2003[1] บทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้อาศัยงานของ ริชาร์ด แฮมิลตัน เป็นพื้น ซึ่งแฮมิลตันเป็นผู้ริเริ่มการใช้ Ricci flow ในการแก้ปัญหาข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร[2] เพเรลมานพัฒนาเทคนิกใหม่ ๆ สำหรับ Ricci flow จนสำหรับดัดแปลงงานของแฮมิลตันเพื่อพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรได้ในที่สุด พร้อมกับ Geometrization conjecture ของวิลเลียม เทอร์สตันที่ซับซ้อนมากกว่าข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร

บทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรถือว่าเป็นหมุดหมายที่สำคัญในวิชาทอพอโลยี แฮมิลตันได้รับรางวัลชอว์จากผลงานของเขา ข้อความคาดการณ์นี้ยังเป็นหนึ่งในปัญหารางวัลมิลเลนเนียม ซึ่งสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ยื่นข้อเสนอ 1 ล้านดอลล่าร์สหรัฐให้แก่ผู้ที่สามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ ข้อพิสูจน์ของเพเรลมานได้รับการตรวจสอบและยืนยันในปี ค.ศ. 2006 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์เสนอรางวัลมิลเลนเนียมให้แก่เพเรลมานเมื่อ 18 มีนาคม ค.ศ. 2010[3] และเขายังได้รับการเสนอเหรียญรางวัลฟีลด์ส[4][5] แต่เขาปฏิเสธรางวัลทั้งคู่ โดยให้เหตุผลว่าผลงานของแฮมิลตันมีส่วนสำคัญพอ ๆ กับผลงานของเขาเอง[6][7] ปัจจุบันข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นปัญหารางวัลมิลเลนเนียมข้อแรกและข้อเดียวที่ได้รับการไขข้อพิสูจน์ได้

อ้างอิง[แก้]

  1. "Poincaré Conjecture | Clay Mathematics Institute". www.claymath.org.
  2. Hamilton, Richard S. (1982-01-01). "Three-manifolds with positive Ricci curvature". Journal of Differential Geometry. 17 (2). doi:10.4310/jdg/1214436922. ISSN 0022-040X.
  3. "Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman" (PDF) (Press release). Clay Mathematics Institute. March 18, 2010. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 2010-03-31. สืบค้นเมื่อ March 18, 2010. The Clay Mathematics Institute (CMI) announces today that Dr. Grigoriy Perelman of St. Petersburg, Russia, is the recipient of the Millennium Prize for resolution of the Poincaré conjecture.
  4. Nasar, Sylvia; David Gruber (August 28, 2006). "Manifold destiny". The New Yorker. pp. 44–57. On-line version at the New Yorker website.
  5. Chang, Kenneth (August 22, 2006). "Highest Honor in Mathematics Is Refused". The New York Times.
  6. "Последнее "нет" доктора Перельмана" [The last "no" Dr. Perelman]. Interfax (ภาษารัสเซีย). July 1, 2010. สืบค้นเมื่อ 5 April 2016. Google Translated archived link at [1] (archived 2014-04-20)
  7. Ritter, Malcolm (1 July 2010). "Russian mathematician rejects million prize". The Boston Globe.

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]