กฎของรุฟฟีนี

ในคณิตศาสตร์ กฎของรุฟฟีนีคือวิธีการคำนวณการหารแบบยุคลิดของพหุนามด้วยทวินามในรูป $x-r$ ได้รับการอธิบายไว้โดยปาโอโล รุฟฟีนี ใน ค.ศ. 1809 กฎนี้เป็นกรณีพิเศษของการหารสังเคราะห์เมื่อตัวหารเป็นตัวประกอบเชิงเส้น

ขั้นตอนวิธี

กฎนี้กำหนดวิธีการหารพหุนาม

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

ด้วยทวินาม

$Q(x)=x-r$

เพื่อจะได้พหุนามผลหาร

$R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$

ขั้นตอนวิธีนี้เทียบได้กับการหารยาว $P(x)$ ด้วย $Q(x)$

การหาร $P(x)$ ด้วย $Q(x)$

1. เอาสัมประสิทธิ์ของ $P(x)$ แล้วเขียนลงตามลำดับ แล้วเขียน $r$ ขอบซ้ายล่างเหนือเส้น

${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}$

1. ดึงสัมประสิทธิ์ซ้ายสุด ($a_{n}$) ลงมาใต้เส้น

${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$

1. คูณจำนวนที่ถูกดึงใต้เส้นด้วย $r$ แล้วเขียนผลคูณบนเส้นภายในหลักถัดไปทางขวา

${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$

1. บวกกันภายในหลักที่ได้เขียนตัวเลขไป

${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}$

1. ทำขั้นตอนที่ 3 และ 4 ซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงขอบขวาสุด

${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=s\\\end{array}}$

ค่า $b$ ต่าง ๆ คือค่าของสัมประสิทธิ์พหุนามผลหาร ($R(x)$) ที่มีดีกรีน้อยกว่า $P(x)$ อยู่หนึ่ง ค่าสุดท้าย $s$ คือเศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามบอกไว้ว่าเศษเหลือจะมีค่าเท่ากับ $P(x)$ ที่ $r$ หรือ $P(r)$

ตัวอย่าง

นี่เป็นตัวอย่างการหารพหนามตามที่ได้อธิบายไว้

ให้

$P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!$

$Q(x)=x+1\,\!$

$P(x)$ จะถูกหารด้วย $Q(x)$ โดยใช้กฎของรุฟฟีนี ปัญหาคือ $Q(x)$ ไม่ได้อยู่ในรูปทวินาม $x-r$ แต่อยู่ในรูป $x+r$ จึงต้องเปลี่ยนรูปโดยการ

$Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!$

ตอนนี้สามารถใช้ขั้นตอนวิธีได้

1. เขียนสัมประสิทธิ์และ $r$ ลงไป สังเกตว่า $P(x)$ ไม่มีพจน์ $x$ จึงเขียน 0 ลงไปทดแทน

${\begin{array}{c|c c c|c}&2&3&0&-4\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}$

1. ดึงสัมประสิทธิ์ตัวแรกลง

${\begin{array}{c|c c c|c}&2&3&0&-4\\-1&&&&\\\hline &2&&&\\\end{array}}$

1. คูณค่าที่ได้ด้วย $r$

${\begin{array}{c|c c c|c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&&\\\hline &2&&&\\\end{array}}$

1. รวมค่าด้วยกัน

${\begin{array}{c|c c c|c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&&\\\hline &2&1&&\\\end{array}}$

1. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 และ 4 จนกว่าจะเสร็จ

${\begin{array}{c|c c c|c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&-1&1\\\hline &2&1&-1&-3\\\end{array}}$

จาก $P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!$ เมื่อ

$R(x)=2x^{2}+x-1$ และ $s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3\!$

การประยุกต์ใช้ในการแยกตัวประกอบ

กฎของรุฟฟีนีใช้ได้เมื่อต้องการจะหาผลหารระหว่างพหุนาม $P(x)$ กับทวินามในรูป $x-r$ (ถ้าตองการหาแค่เศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามจะเป็นวิธีที่ง่ายกว่า)

ตัวอย่างทั่ว ๆ ไปเมื่อต้องการหาผลหาร คือการแยกตัวประกอบ $p(x)$ เมื่อทราบคำตอบ $r$

เศษเหลือของการหารแบบยุคลิดของ $p(x)$ด้วย $r$ คือ $0$ และถ้าผลหารคือ $q(x)$ การหารแบบยุคลิดจะเขียนได้ดังนี้

$p(x)=q(x)\,(x-r)$

เป็นการแยกตัวประกอบ (อาจจะบางส่วน) ของ $p(x)$ ซึ่งสามารถคำนวณโดยใช้กฎของรุฟฟีนี แล้วสามารถแยกตัวประกอบ $p(x)$ ต่อโดยการแยกตัวประกอบ $q(x)$

ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตบอกไว้ว่าทุกพหุนามที่มีดีกรีเป็นบวกจะมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระบวนการข้างบนยังแสดงได้ว่าทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตส่อให้เห็นว่าทุกพหุนามในรูป $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น

$p(x)=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})(x-r_{3})\cdots (x-r_{n})$

เมื่อ $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots ,r_{n}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ประวัติ

ผู้คิดค้นวิธีนี้คือปาโอโล รุฟฟีนี เขาได้เข้าร่วมการแข่งขันที่บัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งชาติอิตาลีจัดขึ้น โดยปัญหาท้าทายคือหาวิธีในการหาคำตอบของพหุคูณทั่วไป ใน ค.ศ. 1804 คำตอบที่รุฟฟีนีที่ส่งไปได้อันดับที่หนึ่งจาก 5 ฉบับที่มีผู้ส่งไป และวิธีของเขาได้รับการตีพิมพ์ เขาได้ปรับแต่งงานของเขาและตีพิมพ์ใน ค.ศ. 1807 และอีกครั้งใน ค.ศ. 1813

ดูเพิ่ม

• วิธีของลิลล์ การหารโดยใช้ภาพ
• วิธีของฮอร์เนอร์

แหล่งข้อมูลอื่น

• Stover, Christopher, "Ruffini's Rule" จากแมทเวิลด์.
• วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อเกี่ยวกับ Ruffini's rule