ข้ามไปเนื้อหา

ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในพีชคณิต ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม (อังกฤษ: Polynomial remainder theorem) หรือทฤษฎีบทเล็กของเบซู (ตั้งชื่อตามเอเตียน เบซู (Étienne Bézout))[1] เป็นการประยุกต์ใช้การหารพหุนามแบบยุคลิด (Euclidean division of polynomial) ซึ่งทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าเศษเหลือจากการหารพหุนาม ด้วยพหุนามเชิงเส้น เท่ากับ และ เป็นตัวหารของ ก็ต่อเมื่อ [2] เป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem)

ตัวอย่าง[แก้]

ตัวอย่าง 1[แก้]

ให้ การหารพหุนาม ด้วย ให้ผลหาร และเหลือเศษ เพราะฉะนั้น

ตัวอย่าง 2[แก้]

แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามเป็นจริงกับพหุนามดีกรี 2 ใด ๆ ด้วยการจัดรูปพีชคณิต:

คูณทั้งสองฝั่งด้วย (x − r) ได้

.

ในเมื่อ เป็นเศษเหลือ เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่า .

การพิสูจน์[แก้]

ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามตามมาจากขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดสำหรับพหุนามที่บอกว่าเมื่อกำหนดพหุนามสองตัวf(x) (ตัวตั้งหาร) และ g(x) (ตัวหาร) จะมีพหุนามผลหาร Q(x) และพหุนามเศษเหลือ R(x) เพียงชุดเดียวที่สอดคล้องกับสมการ

และ หรือ

ถ้าตัวหาร เมื่อ r เป็นค่าคงตัว ก็อาจเป็นได้ทั้ง R(x) = 0 หรือมีดีกรี 0 ซึ่งในทั้งสองกรณี R(x) เป็นค่าคงตัวที่ขึ้นอยู่กับ x คือ

เมื่อกำหนดให้ ในสูตรนี้แล้วก็จะได้:

มีการพิสูจน์ที่ต่างกันเล็กน้อยซึ่งอาจดูพื้นฐานกว่าสำหรับบางคน เริ่มต้นจากการสังเกตว่า เป็นผลรวมเชิงเส้นของพจน์ในรูป ซึ่งแต่ละพจน์สามารถหารได้ด้วย เพราะ

การประยุกต์[แก้]

ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามสามารถใช้เพื่อหา ด้วยการคำนวนหาเศษเหลือ แต่การหารยาวพหุนาม (polynomial long division) ก็ยากกว่าการหาค่าฟังก์ชันไปเลย และการหารสังเคราะห์ (synthetic division) คำนวณได้ง่ายกว่า ดังนั้นเราอาจสามารกหาค่าของฟังก์ชันได้ด้วยการใช้การหารสังเคราะห์และทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ทฤษฎีบทตัวประกอบเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลืออีกเรื่องหนึ่ง: ถ้าเศษเหลือเท่ากับศูนย์ ตัวหารสมการเชิงเส้นนั้นเป็นตัวประกอบของพหุนาม สามารถหาตัวประกอบของพหุนามได้ด้วยการใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบซ้ำหลายครั้ง[3]

อ้างอิง[แก้]

  1. Piotr Rudnicki (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.
  2. Larson, Ron (2014), College Algebra, Cengage Learning
  3. Larson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage Learning