เมทริกซ์สมมาตร

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นคือ

A^\mathrm{T} = A \,

ความสมมาตรในสมาชิกของเมทริกซ์สมมาตร สามารถสังเกตได้จากเส้นทแยงมุม (จากซ้ายบนไปยังขวาล่าง) ซึ่งสมาชิกทุกตัวที่อยู่เหนือและใต้เส้นทแยงมุม จะมีค่าเท่ากันเหมือนการสะท้อนในกระจกเงา ดังนั้นเราสามารถนิยามเมทริกซ์สมมาตรได้อีกอย่างหนึ่งว่า

a_{ij} = a_{ji} \,

สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j

ตัวอย่างต่อไปนี้คือเมทริกซ์สมมาตร ในมิติ 3×3

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & -5\\
3 & -5 & 6\end{bmatrix}^\mathrm{T} = 
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & -5\\
3 & -5 & 6\end{bmatrix}

อนึ่ง เมทริกซ์เอกลักษณ์และเมทริกซ์ทแยงมุม ก็เป็นเมทริกซ์สมมาตรชนิดหนึ่ง เนื่องจากสมาชิกตัวอื่นนอกจากบนเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ เมื่อสลับเปลี่ยนแล้วทำให้ค่าไม่เปลี่ยนแปลง

คุณสมบัติ[แก้]

ทุกๆเมทริกซ์จัตุรัสจำนวนจริง X สามารถเขียนอยู่ในรูปผลบวกของเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์สมมาตรเสมือน ดังนี้:

X=\frac{1}{2}\left(X+X^\mathrm{T}\right)+\frac{1}{2}\left(X-X^\mathrm{T}\right)

ดูเพิ่ม[แก้]