เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (ทับศัพท์ว่า ทรานสโพส) คือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ A ที่มีมิติ m×n จะเขียนแทนด้วย AT (บางครั้งอาจพบในรูปแบบ At, Atr, tA หรือ A′) ซึ่งจะมีมิติเป็น n×m (สลับกัน) นิยามโดย

A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji}

สำหรับทุกค่าของ i และ j ที่ 1 ≤ in และ 1 ≤ jm ตัวอย่างเช่น

\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

คุณสมบัติ[แก้]

กำหนดให้เมทริกซ์ A, B และสเกลาร์ c คุณสมบัติของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนมีดังนี้

  1. เมทริกซ์ที่สลับเปลี่ยนสองครั้งจะได้เมทริกซ์ต้นแบบ
    \left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \,
  2. การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์มีคุณสมบัติการกระจายในการบวก เมื่อเมทริกซ์ทั้งสองสามารถบวกกันได้
    (A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T} \,
  3. การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์มีคุณสมบัติการกระจายในการคูณ เมื่อเมทริกซ์ทั้งสองสามารถคูณกันได้ โปรดสังเกตว่าลำดับของการคูณจะเรียงย้อนกลับ ไม่ว่าจะมีกี่เมทริกซ์ก็ตาม
    \left( AB \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} \,
  4. การสลับเปลี่ยนของสเกลาร์ ก็จะได้สเกลาร์ตัวเดิม จึงสามารถดึงตัวร่วมออกมาได้
    (c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T} \,
  5. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะมีค่าเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยน
    \det(A^\mathrm{T}) = \det(A) \,
  6. ผลคูณจุด (dot product) ของเวกเตอร์สองคอลัมน์ a กับ b สามารถคำนวณได้จาก
     \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b} \,
  7. เมทริกซ์ผกผันของการสลับเปลี่ยน เท่ากับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของการผกผัน
    (A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathrm{T} \,