เมทริกซ์เอกลักษณ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย คือเมทริกซ์จัตุรัส (หรือเมทริกซ์ทแยงมุม) ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ I_n หรือเพียงแค่ I (ไอ) ส่วนทางกลศาสตร์ควอนตัมจะเขียน 1 ด้วยตัวหนาแทน ตัวอย่างเมทริกซ์เอกลักษณ์เช่น


I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\  
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

ตำราคณิตศาสตร์บางเล่มก็ใช้ U หรือ E เขียนแทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ (ซึ่งมาจาก unit matrix และ elementary matrix ตามลำดับ) ถึงแม้ว่า I จะเป็นที่นิยมใช้มากกว่าก็ตาม

คุณสมบัติสำคัญของ In อยู่ที่การคูณเมทริกซ์ ได้แก่

AI_n = A \, และ I_nB = B \,

เมื่อใดก็ตามที่การคูณเมทริกซ์นั้นได้นิยามไว้แล้ว โดยเฉพาะเมทริกซ์เอกลักษณ์ ถือเป็นเมทริกซ์หน่วยของริงของเมทริกซ์ขนาด n×n และถือเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุปเชิงเส้นทั่วไป GL(n) ที่ประกอบด้วยเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ (เมทริกซ์เอกลักษณ์นั้นสามารถผกผันได้ผลลัพธ์เป็นตัวมันเอง)

หากเมทริกซ์มิติ n×n ถูกใช้เป็นการนำเสนอการแปลงเชิงเส้น จากปริภูมิเวกเตอร์ n มิติไปยังปริภูมิเดิม I_n จะเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ โดยไม่ต้องคำนึงถึงฐานหลัก (basis)

หลักที่ i ในเมทริกซ์เอกลักษณ์คือเวกเตอร์หน่วย e_i และเวกเตอร์หน่วยเหล่านั้นก็เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (eigenvector) ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งมีค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) เท่ากับ 1 เหมือนกันทั้งหมดเพียงค่าเดียว และมีภาวะรากซ้ำเป็น n ทำให้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์เท่ากับ 1 และรอยเมทริกซ์ (trace) เท่ากับ n

เราสามารถใช้สัญกรณ์ของเมทริกซ์ทแยงมุมเพื่อเขียนเมทริกซ์เอกลักษณ์ได้ดังนี้

I_n = \operatorname{diag}(1,1,\dots,1)

และเขียนให้อยู่ในรูปของเดลตาโครเนกเกอร์ (Kronecker delta) ได้ดังนี้

(I_n)_{ij} = \delta_{ij} \,

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]