เมทริกซ์สมมาตรเสมือน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์สมมาตรเสมือน หรือ เมทริกซ์ปฏิสมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ

A^\mathrm{T} = -A \,

เราสามารถนิยามเมทริกซ์สมมาตรเสมือนได้อีกอย่างหนึ่งว่า

a_{ij} = -a_{ji} \,

สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j

ตัวอย่างต่อไปนี้คือเมทริกซ์สมมาตรเสมือน ในมิติ 3×3

\begin{bmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0\end{bmatrix}^\mathrm{T} = 
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 1 \\
2 & 0 & 4 \\
-1 & -4 & 0\end{bmatrix} = 
(-1)
\begin{bmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0\end{bmatrix}

คุณสมบัติ[แก้]

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สมมาตรเสมือน มีคุณสมบัติดังนี้

\det(A) = \det(A^\mathrm{T}) = \det(-A) = (-1)^n\det(A) \,

ซึ่งหาก n เป็นจำนวนคี่ ดีเทอร์มิแนนต์จะกลายเป็นศูนย์ ตามทฤษฎีบทของจาโคบี ซึ่งตั้งโดย คาร์ล กุสตาฟ จาโคบี (Carl Gustav Jacobi)

ดูเพิ่ม[แก้]