สูตรการสะท้อน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ สูตรการสะท้อน หรือ ความสัมพันธ์การสะท้อน (reflection formula/relation) สำหรับฟังก์ชัน f คือสมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง f(x) กับ f(ax) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษกรณีหนึ่งของสมการเชิงฟังก์ชัน (functional equation) สูตรการสะท้อนมีประโยชน์ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขสำหรับฟังก์ชันพิเศษอื่นๆ

สูตรที่เป็นที่รู้จัก[แก้]

ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่มีความสัมพันธ์สะท้อนเมื่อ a = 0 นั่นคือ สำหรับทุกฟังก์ชันคู่ จะได้ f(−x) = f(x) และสำหรับทุกฟังก์ชันคี่ จะได้ f(−x) = −f(x)

ความสัมพันธ์อันหนึ่งที่เป็นที่รู้จักกันดีคือ สูตรการสะท้อนของออยเลอร์ (Euler's reflection formula)

\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin{\pi z}}

สำหรับฟังก์ชันแกมมาที่นิยามโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์

นอกจากนี้ยังมีสูตรการสะท้อนสำหรับฟังก์ชันโพลีแกมมา (polygamma function) อันดับที่ n ในสัญกรณ์ ψn(z) ดังนี้

\psi^n(1-z)+(-1)^{n+1}\psi^n(z) = (-1)^n \pi \frac{d^n}{d z^n} \cot{\pi z}

ในฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (Riemann zeta function) ก็มีความสัมพันธ์การสะท้อน

\zeta(1-z) = 2(2\pi)^{-z} \cos\left(\frac{\pi z}{2}\right)\Gamma(z)\zeta(z)

และในฟังก์ชันไซ (xi function) ในสัญกรณ์ ξ(z) ก็มีเช่นกัน คือ

\xi(z) = \xi(1-z) \!

อ้างอิง[แก้]