สมการเค็พเพลอร์

ผลเฉลยของสมการเค็พเพลอร์สำหรับวงโคจรที่มีค่าความเยื้องศูนย์กลาง $e$ ต่างกันไปตั้งแต่ 0 จนถึง 1

สมการเค็พเพลอร์ (เยอรมัน: Kepler-Gleichung) เป็นสมการอดิศัยในทางกลศาสตร์วงโคจร ที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง $E$, มุมกวาดเฉลี่ย $M$ และ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร $e$ ในปัญหาเค็พเพลอร์ที่ใช้ในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

$M=E-e\sin E$

เมื่อแทนค่าความเยื้องศูนย์กลาง $e$ ที่กำหนดโดยวงโคจรในสมการนี้ ตำแหน่งของดาวเคราะห์ในวงโคจรสามารถระบุได้โดยการหาค่ามุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง $E$ ในรูปของฟังก์ชันของค่ามุมกวาดเฉลี่ย $M$

ประวัติศาสตร์

จุด M คือตำแหน่งของดาวเคราะห์ จุด N คือตำแหน่งดวงอาทิตย์ (อยู่ที่จุดโฟกัสของวงโคจรวงรีของดาวเคราะห์) จุด A คือจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด

ในหนังสือ อัสโตรโนเมีย โนวา (ละติน: Astronomia nova, ดาราศาสตร์ใหม่) ในปี ค.ศ. 1609 โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ได้อธิบายถึงสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อว่า กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์ โดยกฎข้อที่หนึ่ง "ดาวเคราะห์โคจรด้วยวงโคจรวงรีโดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่ง" และกฎข้อที่สอง (กฎพื้นที่กวาดคงที่) ได้ถูกอธิบายไว้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากในยุคสมัยของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีแคลคูลัส การอธิบายทางคณิตศาสตร์จึงเป็นในทางเรขาคณิตเป็นหลัก โดยตัวเค็พเพลอร์เองได้เขียนอธิบายเป็นคำพูด ไม่ใช่เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ แต่หากเขียนเป็นสมการก็จะได้แบบนี้ (ดูรูปทางขวาประกอบ)

$t\propto$ สามเหลี่ยม KHN + เซกเตอร์ KHA $={\frac {1}{2}}(E-e\sin E)$

โดยที่ $t$ คือเวลานับจากที่ดาวเคราะห์โคจรผ่านจุดใกล้, $e$ คือความเยื้องศูนย์กลาง และ $E$ คือมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง

ต่อมาสูตรนี้ถูกเขียนใหม่ในภายหลังโดยเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ โดยอ็อยเลอร์ได้แสดงได้โดยใช้คาบการโคจร T เขียนเป็น

${\frac {t}{T}}={\frac {E-e\sin E}{2\pi }}$

หรือใช้ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย $n=2\pi /T$ แล้วแสดงด้วยค่าที่เรียกว่ามุมกวาดเฉลี่ย ซึ่งนิยามโดย $M=nt$ เขียนสมการใหม่ได้ในรูป

$M=E-e\sin E$

ซึ่งสมการในรูปแบบนี้เองที่ได้กลายมาเป็นที่รู้จักโดยทั่วไปในชื่อว่า สมการเค็พเพลอร์

ในยุคปัจจุบันเราสามารถระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลาได้โดยการแก้สมการการเคลื่อนที่ด้วยวิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลข แต่ในยุคของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีวิธีการแบบนั้น รวมถึงยังไม่มีการค้นพบกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันด้วย ดังนั้นในการระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลานั้น จึงต้องทำโดยเริ่มจากกำหนดรูปร่างของวงโคจรวงรี (กล่าวคือตัวแปร $e$ และ $l$ ของระบบพิกัดเชิงขั้วของวงรี $r=l/(1+e\cos \theta )$) แล้วก็แก้สมการของเค็พเพลอร์ นั่นคือเมื่อได้ค่ารู้ค่า $M$ และ $e$ เราต้องแก้หาว่า $E$ สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ $M$ และ $e$ ได้อย่างไร อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมการนี้เป็นสมการอดิศัย จึงต้องใช้เทคนิคที่มีความซับซ้อนในการหาผลเฉลย

การแก้

วิธีแก้สมการเค็พเพลอร์ที่เป็นที่รู้จักดีมีอยู่ 2 วิธี โดยวิธีหนึ่งคือการใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ และอีกวิธีคือการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิล

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ เราสามารถเขียนสมการเค็พเพลอร์ในรูปของอนุกรมกำลังได้เป็น

$E=e\sin M+{\frac {e^{2}}{2}}\sin 2M+\cdots$

โดยจะใช้ได้ดีเมื่อ $e$ มีขนาดเล็ก

ส่วนวิธีการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิลนั้นใช้ได้ดีแม้ในกรณีที่ $e$ ไม่ได้มีขนาดเล็ก ทำโดยแจกแจงเป็นอนุกรมฟูรีเย ซึ่งผลสุดท้ายแล้วจะได้ว่า

$E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(ne)\sin nM$

โดยในที่นี้ $J_{n}$ คือฟังก์ชันเบ็สเซิลอันดับที่ $n$

$J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin \theta -n\theta )d\theta$