อนุกรมฟูรีเย

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

อนุกรมฟูรีเย ตั้งชื่อตาม โฌแซ็ฟ ฟูรีเย อนุกรมฟูรีเยเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูรีเย นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป

x\mapsto e^{inx}

ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ ei x หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์

ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย

นิยาม[แก้]

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

อนุกรมฟูรีเย สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}. \qquad F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx.
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx) \,\! เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ \cos(nx) \,\! และ \sin(nx) \,\!
f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right] a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx

โดยที่ F_n = (a_n - i b_n) / 2 \,, F_{-n} = F_n^* และ  F_{0} = a_0 / 2\,

ตัวอย่าง[แก้]

พิจารณาฟังก์ชัน  \, f(x) = x \, สำหรับค่า  x \in (-\pi,\pi) และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป

Fxeqx.png

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)

a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\, dx= 0,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0,
 b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx
=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\, dx= \frac{2}{\pi}\left(
\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi}
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}

สังเกตว่า a0 และ an มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:

f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))
=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2

ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ