ผู้ใช้:Keeplearn/กระบะทราย

Hermann Günther Graßmann
Hermann Günther Graßmann
เกิด	15 เมษายน ค.ศ. 1809(1809-04-15) ชเตททิน, โพแมร์อานีอา (ปัจจุบันคือสเกซซีน, โปแลนด์)
เสียชีวิต	26 กันยายน ค.ศ. 1877(1877-09-26) (68 ปี) ชเตททิน, โพแมร์อานีอา
ศิษย์เก่า	มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน

แฮร์มันน์ กึนเทอร์ กรัสส์มันน์ (เยอรมัน: Hermann Günther Graßmann) (15 เมษายน ค.ศ. 1809 – 26 กันยายน ค.ศ. 1877) เป็นผู้รอบรู้ชาวเยอรมัน มีชื่อเสียงเป็นที่รู้จักในฐานะนักภาษาศาสตร์ในยุคของเขา ปัจจุบันได้รับการยกย่องว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ เขายังเป็นนักฟิสิกส์ นักมนุษยวิทยาสมัยใหม่ นักวิชาการทั่วไป และนักหนังสือพิมพ์ แต่งานทางคณิตศาสตร์ของเขาไม่เป็นที่น่าสังเกตหรือน่าจดจำจนกระทั่งเขาอายุหกสิบ

ชีวประวัติ

กรัสส์มันน์ เป็นลูกคนที่สามจากสิบสองคนของ ยุสตุส กึนเทอร์ กรัสส์มันน์ (เยอรมัน: Justus Günter Graßmann) ยุสตุสเป็นพระนักบวชที่สอนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่โรงเรียนชเตททิน (เยอรมัน: Stettin Gymnasium) และแฮร์มันน์ก็เรียนที่นั่นด้วย แฮร์มันน์มักทำงานร่วมกับพี่ชายชื่อโรแบร์ท (เยอรมัน: Robert)

กรัสส์มันน์เป็นนักเรียนธรรมดาจนกระทั่งเขาทำคะแนนได้สูงมากในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยต่าง ๆ ในพรอยส์เซิน (เยอรมัน: Preußen) เขาศึกษาเทววิทยาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน เมื่อต้นปี ค.ศ. 1827 และยังเรียนภาษาวรรณคดีโบราณ (เช่น กรีกโบราณ ละติน ฯลฯ ) ปรัชญา และวรรณคดี แต่ไม่พบว่าเขาเรียนคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์

แม้ว่าเขาจะไม่ผ่านการเรียนคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัย แต่เขาสนใจคณิตศาสตร์มากที่สุดเมื่อเขากลับมาที่ชเตททินเมื่อปี ค.ศ. 1830 หลังจากเขาจบการศึกษาที่เบอร์ลิน หลังจากนั้นเขาเตรียมตัวหนึ่งปีเพื่อเข้าสอบเพื่อเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน แต่ก็ได้รับอนุญาตให้ทำการสอนคณิตศาสตร์แค่ในระดับต้นเท่านั้น เขาได้เป็นผู้ช่วยที่โรงเรียนชเตททินเมื่อฤดูใบไม้ผลิปีค.ศ. 1832 ระหว่างนั้นเขาได้ค้นพบคณิตศาสตร์แบบใหม่เป็นครั้งแรก ซึ่งนำไปสู่ความคิดทีสำคัญ ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์เป็นเอกสารเผยแพร่เมื่อปี ค.ศ. 1844

กรัสส์มันน์เริ่มสอนที่โรงเรียนพาณิชย์ในเบอร์ลิน เมื่อปี ค.ศ. 1834 อีกหนึ่งปีต่อมาเขากลับมาที่ชเตททิน สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เยอรมัน ละติน และศาสนาที่โรงเรียนอ็อทโท (Otto) แต่เขาก็ได้สอนแค่ในระดับต้นเท่านั้น สี่ปีต่อมาเขาผ่านการสอบและได้รับอนุญาตให้สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี และวิทยาแร่ ในระดับมัธยม

กรัสส์มันน์ ค่อนข้างเสียใจว่า เขากำลังสร้างนวัตกรรมใหม่ทางคณิตศาสตร์แต่เขาสอนได้แค่ระดับมัธยม แต่เขาก็ได้เลื่อนตำแหน่งแม้ไม่เคยออกจากชเตททิน เขาได้เป็นครูใหญ่เมื่อปี ค.ศ. 1847 เขาได้รับตำแหน่งสืบต่อจากพ่อที่ล่วงลับที่โรงเรียนชเตททิน และได้เป็นศาสตราจารย์เมื่อปี ค.ศ. 1852 เขาได้ขอให้รัฐมนตรีกระทรวงศึกษาธิการของพรอยส์เซินหาตำแหน่งให้เขาที่มหาวิทยาลัยเมื่อปี ค.ศ. 1847 แอนสท์ คุมเมอร์ (เยอรมัน: Ernst Kummer) ได้เขียนตอบกลับมาว่า เรียงความชิงรางวัลเมื่อปี ค.ศ. 1846 ของกรัสส์มันน์มีเนื้อหาที่ดีแต่อยู่ในรูปแบบยังไม่ดีพอ รายงานฉบับนี้ของคุมเมอร์ ทำให้กรัสส์มันน์หมดโอกาสที่จะได้รับตำแหน่งที่มหาวิทยาลัย ซึ่งแสดงถึงบรรทัดฐานของคนในยุคนั้น ทำให้สมัยนั้นไม่มีใครได้จดจำคุณค่าทางคณิตศาสตร์ของกรัสส์มันน์

ในช่วงความวุ่นวายทางการเมืองในประเทศเยอรมนี ช่วงปี ค.ศ. 1848-1849 แฮร์มันน์และโรแบร์ท กรัสส์มันน์ ตีพิมพ์บทความลงในหนังสือพิมพ์ชเตททินเพื่อเรียกร้องการรวมประเทศเยอรมนีและปกครองในระบอบราชาธิปไตยภายใต้รัฐธรรมนูญ (ซึ่งสำเร็จเมื่อปี ค.ศ. 1872) หลังจากกฎหมายรัฐธรรมนูญเขียนเสร็จ แฮร์มันน์ได้ขัดแย้งกับหนังสือพิมพ์ และพบว่าตัวเขาเองขัดแย้งกับทิศทางทางการเมืองของมันมากขึ้นเรื่อยๆ

กรัสส์มันน์มีลูกสิบเอ็ดคน แต่มีแค่เจ็ดคนที่ได้โตเป็นผู้ใหญ่ ลูกชายคนหนึ่งของเขา แฮร์มันน์ แอนสท์ กรัสส์มันน์ (เยอรมัน: Hermann Earnst Graßmann) ได้เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยกีสเซน

นักคณิตศาสตร์

กรัสส์มันน์เข้าร่วมสอบมากมาย การสอบครั้งหนึ่งของเขาบังคับให้เขาต้องส่งบทความเกี่ยวกับทฤษฎีกระแสน้ำ เมื่อปี ค.ศ. 1840 เขาได้ใช้ทฤษฎีพื้นฐานจากกลศาสตร์ท้องฟ้าของลาปลาส (Laplace) และจากกลศาสตร์วิเคราะห์ของลากร็องฌ์ (Joseph Louis Lagrange) แต่แสดงการใช้ทฤษฎีนี้กับกระบวนการทางเวกเตอร์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นเมื่อปี ค.ศ. 1832. เขาได้การตีพิมพ์บทความนี้เป็นครั้งแรกในงานสะสมแห่งปี ค.ศ. 1894-1911 มีเนื้อหาถึงเรื่องที่เพิ่งรู้จักเป็นครั้งแรกซึ่งปัจจุบันเราเรียกมันว่า พีชคณิตเชิงเส้น และปริภูมิเวกเตอร์ เขาพัฒนากระบวนการเหล่านี้ต่อไปในงานของเขา A1 และ A2 (ดู อ้างอิง)

เมื่อปี ค.ศ. 1844 กรัสส์มันน์ตีพิมพ์ผลงานชิ้นเอกของเขาคือ ทฤษฎีส่วนขยายเชิงเส้น คณิตศาสตร์สาขาใหม่ (Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik) [The Theory of Linear Extension] ตั้งชื่อว่า A1 และเป็นที่รู้โดยทั่วไปว่าหมายถึง Ausdehnungslehre, ซึ่งแปลว่าทฤษฎีส่วนขยายเชิงปริมาณ เนื่องจาก A1 เสนอรากฐานใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ งานนี้จึงเริ่มต้นด้วยคำนิยามทั่วไปของธรรมชาติเชิงปรัชญา แล้วกรัสส์มันน์ก็ได้แสดงว่า เมื่อใส่เรขาคณิตลงไปในพีชคณิต ตัวเลขสามไม่ได้มีบทบาทพิเศษอะไรในฐานะตัวเลขของมิติแห่งปริภูมิ ในความเป็นจริงแล้วตัวเลขที่เป็นไปได้ของมิตินั้นไม่จำกัด

เฟิร์นลีย์ แซนเดอร์ (Fearnley-Sander) (1979) อธิบายถึงรากฐานของพีชคณิตเชิงเส้นของกรัสส์มันน์ไว้ดังต่อไปนี้

คำนิยามของปริภูมิเชิงเส้น (ปริภูมิเวกเตอร์)... เริ่มเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางช่วงปี ค.ศ. 1920 เมื่อแฮร์มันน์ ไวล (Hermann Weyl) และคนอื่นๆ ได้ตีพิมพ์คำนิยามอย่างเป็นทางการ แท้จริงแล้ว เพอาโน (Peano) เคยให้คำนิยามแบบนี้เมื่อสามสิบปีก่อน เพอาโนคุ้นเคยกับงานทางคณิตศาสตร์ของกรัสส์มันน์เป็นอย่างดี กรัสส์มันน์ไม่ได้ให้คำนิยามอย่างเป็นทางการไว้ แต่ไม่ต้องสงสัยว่าเขามีกรอบความคิดนั้น

เริ่มต้นด้วยกลุ่มของสมาชิกที่เรียกว่า 'หน่วย' ('units') e₁, e₂, e₃, ..., เขานิยามปริภูมิเชิงเส้นอิสระที่พวกมันทำให้เกิดขึ้นอย่างมีประสิทธิภาพ พูดได้ว่าเขาพิจารณาถึงการจัดหมู่เชิงเส้นอย่างเป็นทางการ a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ + ... โดยที่ a_j เป็นจำนวนจริง นิยามการบวกและการคูณด้วยจำนวนจริง [การบวกและการคูณจำนวนจริงเป็นเรื่องธรรมดาในปัจจุบัน] และพิสูจน์คุณสมบัติของปริภูมิเชิงเส้นสำหรับการดำเนินการเหล่านี้อย่างเป็นทางการ ... จากนั้นเขาก็พัฒนาทฤษฎีของความเป็นอิสระเชิงเส้น (linear independence) ในแนวทางเดียวกับการนำเสนอที่เราพบในตำราพีชคณิตเชิงเส้นสมัยใหม่ไว้อย่างน่าอัศจรรย์ เขานิยามกรอบความคิดของปริภูมิย่อย (subspace), ความเป็นอิสระเชิงเส้น, ส่วนขยายเชิงเส้น (linear span), มิติ, การเชื่อมและการต่อ (join and meet) ของปริภูมิย่อย และการแตกส่วนย่อย (projection) ของสมาชิกลงบนปริภูมิย่อย

...น้อยคนนักที่เข้าใกล้การสร้างวิชาใหม่เพียงลำพังมากกว่าแฮร์มันน์ กรัสส์มันน์

ติดตามความคิดของพ่อของกรัสส์มันน์ A1 ยังได้นิยามผลคูณภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซทีเรียร์ โพรดักต์ exterior product) ที่เรียกอีกอย่างว่าผลคูณเชิงการจัด "combinatorial product" ด้วย แม่แบบ:Lange-de''äußeres Produkt'' or kombinatorisches Produkt) สาขาหลักสาขาหนึ่งของพีชคณิตที่ปัจจุบันเราเรียกว่า พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซทีเรียร์ อัลจีบรา exterior algebra) (เราควรระลึกไว้ในใจว่าในสมัยของกรัสส์มันน์ ทฤษฎีที่ยอมรับกันโดยทั่วไปมีแค่เรขาคณิตแบบยูคลิด (Euclidean geometry) และยังต้องนิยามกรอบความคิดทั่วไปของพีชคณิตเชิงทฤษฎีอยู่) เมื่อปี ค.ศ. 1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ด (William Kingdon Clifford) เชื่อมพีชคณิตเชิงเส้นนี้เข้ากับควาเทอร์เนียน (quaternions) ของวิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) โดยการเปลี่ยนกฎของกรัสส์มันน์ e_pe_p = 0 ด้วยกฎ e_pe_p = 1. (สำหรับ ควอเทอร์เนียน, เรามีกฎ i² = j² = k² = −1.) รายละเอียดเพิ่มเติมดู พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซทีเรียร์ อัลจีบรา exterior algebra)

A1 เป็นตำราที่ปฏิวัติคณิตศาสตร์ ล้ำหน้ากว่าสมัยของมันมากเกินไปที่จะเป็นที่ยอมรับ กรัสส์มันน์นำเสนอมันในฐานะของวิทยานิพนธ์ดุษฎีบัณฑิตสาขาปรัชญา (Doctor of Philosophy|Ph. D.) แต่เมอบีอุส (เยอรมัน: August Ferdinand Möbius) พูดว่าเขาไม่สามารถประเมินค่าของมัน และส่งต่อให้ แอนสท์ คุมเมอร์ (เยอรมัน: Ernst Kummer) แต่คุมเมอร์ไม่ยอมรับมันโดยที่เขายังไม่ได้อ่านเนื้อหาอย่างถี่ถ้วน สิบกว่าปีต่อมากรัสส์มันน์ได้เขียนงานหลายรูปแบบโดยประยุกต์ใช้ทฤษฎีส่วนขยายของเขา รวมถึงผลงานของเขาเมื่อปีค.ศ. 1845 ทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้า (อิเล็กโทรไดนามิกส์) Neue Theorie der Elektrodynamik และเอกสารหลายฉบับเกี่ยวกับเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพีชคณิตด้วยความหวังว่าการประยุกต์ใช้งานเหล่านี้จะนำพาผู้คนอื่นๆ ให้หันมาสนใจทฤษฎีของเขาอย่างจริงจัง

เมื่อปี ค.ศ. 1846 เมอบีอุสได้เชิญกรัสส์มันน์เข้าร่วมการแข่งขันแก้ปัญหาที่ถูกเสนอโดยไลบ์นิซ (เยอรมัน: Gottfried Wilhelm Leibniz) เป็นครั้งแรก: เพื่อที่จะคิดค้นแคลคูลัสเชิงเรขาคณิตโดยไม่มีระบบพิกัดและคุณสมบัติเชิงเมทริกซ์ (ซึ่งไลบ์นิซเรียกว่า แบบโครงสร้างการวิเคราะห์ (analysis situs) การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตของกรัสส์มันน์ Grassmann's Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik เป็นผู้ชนะการแข่งขัน (เป็นผู้เข้าร่วมเพียงผู้เดียวอีกด้วย) ยิ่งไปกว่านั้นเมอบีอุสในฐานะผู้ตัดสินคนหนึ่งได้วิจารณ์วิธีที่กรัสส์มันน์เสนอกรอบความคิดเชิงทฤษฎีโดยไม่ช่วยให้ผู้อ่านเข้าใจว่าทำไมกรอบความคิดนั้นจึงมีคุณค่า

เมื่อปี ค.ศ. 1853 กรัสส์มันน์ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีการผสมสีของแสง เรียกว่า กฎของกรัสส์มันน์ (Grassmann's law (optics))ซึ่งยังคงมีการสอนกันอยู่ งานของกรัสส์มันน์ในเรื่องนี้ไม่สอดคล้องกับงานของเฮล์มโฮล์ทซ (Helmholtz) กรัสส์มันน์ยังได้เขียนเรื่อง ผลึกศาสตร์ (crystallography) แม่เหล็กไฟฟ้าวิทยา (electromagnetism) และกลศาสตร์ (mechanics)

เมื่อปี ค.ศ. 1861 กรัสส์มันน์ได้แถลงถึงหลักฐานที่เป็นจริงเสมอทางเลขคณิต ทำให้เกิดการใช้หลักของการเหนียวนำอย่างอิสระ พีอาโน (Peano) และลูกศิษย์ของเขาสนับสนุนงานชิ้นนี้อย่างอิสระเมื่อช่วงปี ค.ศ. 1890 ลอยด์ ซี คานเนนเบิร์ก (Lloyd C. Kannenberg) ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีส่วนขยาย (Ausdehnungslehre) และผลงานอื่นๆของกรัสส์มันน์เป็นภาษาอังกฤษเมื่อปี ค.ศ. 1955(ISBN 0-8126-9275-6. -- ISBN 0-8126-9276-4).

เมื่อปี ค.ศ. 1862 กรัสส์มันน์ได้ตีพิมพ์ A1 ที่ถูกเขียนขึ้นใหม่ทั้งหมดเป็นครั้งที่สอง โดยหวังที่จะให้ทฤษฎีส่วนขยายของเขาได้รับการยอมรับ และบรรจุคำอธิบายที่น่าเชื่อถือที่สมบูรณ์ที่สุดของพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) ของเขา ผลที่ตามมาคือทฤษฎีส่วนขยายในรูปแบบที่ขัดเกลามาแล้วอย่างเข้มข้น (Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet) ที่เรียกว่า A2 มีอาการก็ไม่ดีกว่า A1 แม้ว่ารูปแบบของคำอธิบายของ A2 ได้ถูกเตรียมไว้เพื่อเป็นตำราของศตวรรษที่20

การยอมรับ

นักคณิตศาสตร์คนแรกๆที่ชื่นชมความคิดของกรัสส์มันน์ตอนที่เขายังมีชีวิตคือ แฮร์มันน์ ฮังเคิล (Hermann Hankel) เจ้าของทฤษฎีระบบจำนวนเชิงซ้อน (Theorie der complexen Zahlensysteme)เมื่อปี ค.ศ. 1867

... ได้พัฒนาบางส่วนของพีชคณิตของกรัสส์มันน์ และบางส่วนของควอเทอร์เนียน (quaternion) ของฮามิลทัน ฮานเคิลเป็นคนแรกที่รู้ถึงความสำคัญของงานเขียนของกรัสส์มันน์ที่ถูกทอดทิ้งมายาวนาน ...

เมื่อปี ค.ศ. 1872 วิกตอร์ ชเลเกิล (Victor Schlegel) ได้ตีพิมพ์ส่วนแรกของระบบของวิทยาศาสตร์อวกาศ (System der Raumlehre) ของเขาซึ่งใช้วิธีของกรัสส์มันน์เพื่อที่จะหาผลคูณโบราณและสมัยใหม่ในระนาบเรขาคณิต เฟลิก ไคลน์ (Felix Klein) ได้เขียนบทวิจารณ์เชิงลบถึงตำราของชเลเกิลอ้างถึงความไม่สมบูรณ์และการขาดมุมมองของกรัสส์มันน์ ชเลเกิลได้ออกส่วนที่สองของระบบของเขาตามออกมาเมื่อปี ค.ศ. 1875 ให้สอดคล้องกับมุมมองของกรัสส์มันน์ คราวนี้เขาพัฒนาเรขาคณิตที่สูงขึ้น ขณะเดียวกันนั้นไคลน์ก็กำลังพัฒนาโครงการแอร์ลังเกิน (Erlangen Program) ของเขาซึ่งได้ขยายขอบเขตของเรขาคณิตเช่นเดียวกัน

ความสามารถในการเรียนรู้ของกรัสส์มันน์ได้รอคอยกรอบความคิดของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งสามารถแสดงพีชคณิตเชิงหลายเส้น ของทฤษฎีส่วนขยายของเขา บทความของ เอ.เอ็น.ไวท์เฮด (A. N. Whitehead) เรื่องพีชคณิตครอบจักวาล (Universal Algebra) เมื่อปี ค.ศ. 1898 ได้รวมคำอธิบายอย่างเป็นระบบเป็นภาษาอังกฤษของทฤษฎีส่วนขยายและพีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซทีเรียร์ อัลจีบรา exterior algebra)ไว้เป็นครั้งแรก ด้วยการเกิดขึ้นของอนุพันธ์เชิงเรขาคณิต (differential geometry) ทำให้พีชคณิตภายนอกถูกนำมาประยุกต์ใชักับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (differential form)ของมัน

สำหรับการแนะนำถึงบทบาทร่วมสมัยของผลงานของกรัสส์มันน์ทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ (mathematical physics) ดูถนนสู่ความจริง The Road to Reality โดยโรเจอร์ เพนโรส (Roger Penrose)

อาเดมาร์ ฌาน โคลด บาร์เร เดอ แซ็ง-เวอน็องต์ (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant) ได้พัฒนาแคลคูลัสของเวกเตอร์ขึ้นมาเมื่อปี ค.ศ. 1845 แคลคูลัสเวกเตอร์ของเขาเหมือนกับของกรัสส์มันน์ เขาจึงโต้เถียงกับกรัสส์มันน์ว่าใครคิดได้ก่อน กรัสสส์มันได้ตีพิมพ์ผลงานเมื่อปี ค.ศ. 1844 แต่แซ็งต์-เวอน็องต์ (Saint-Venant) อ้างว่าเขาได้พัฒนาความคิดเหล่านี้เป็นคนแรกเมื่อปี ค.ศ. 1832

นักภาษาศาสตร์

ด้วยความผิดหวังกับความไร้สามารถของผู้อื่นในการตระหนักถึงความสำคัญของคณิตศาสตร์ของเขา กรัสส์มันน์หันไปทางประวัติภาษาศาสตร์(historical linguistics) เขาเขียนหนังสือเกี่ยวกับไวยากรณ์ภาษาเยอรมัน เก็บรวบรวมเพลงพื้นบ้าน และเรียนรู้ภาษาสันสกฤต พจนานุกรมและการแปลภาษาฤคเวทของเขายังคงถูกพิมพ์และได้รับการจดจำท่ามกลางนักภาษาศาสตร์ เขาประดิษฐ์กฎของเสียงของภาษาอินโดยูโรเปียน และตั้งชื่อว่า กฎของกรัสส์มันน์ เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา ผู้คนยกย่องเขาในด้านความสำเร็จทางภาษาศาสตร์เหล่านี้ในช่วงชีวิตของเขา สมาคมอเมริกันโอเรียนทอล (American Oriental Society)เชิญให้เขาเข้าร่วมสมาคม และมหาวิทยาลัยทือบีเกิน (University of Tübingen)ได้มอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ให้กับเขาเมื่อปี ค.ศ. 1876

ดูเพิ่ม

• Bra-ket notation (as precursor)
• Exterior algebra
• Grassmann number
• Grassmannian
• Grassmann's law (phonology)
• Grassmann's law (optics)

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลปฐมภูมิ

• A1: 1844. Die lineale Ausdehnungslehre. Leipzig: Wiegand. English translation, 1995, by Lloyd Kannenberg, A new branch of mathematics. Chicago: Open Court.
• 1847. Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik.. Available on quod.lib.umich.edu
• 1861. Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten, Band 1. Berlin: Enslin.
• A2: 1862. Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form begründet.. Berlin: Enslin. English translation, 2000, by Lloyd Kannenberg, Extension Theory. American Mathematical Society.
• 1873. Wörterbuch zum Rig-Veda. Leipzig: Brockhaus.
• 1876–1877. Rig-Veda. Leipzig: Brockhaus. Translation in two vols., vol. 1 published 1876, vol. 2 published 1877.
• 1894–1911. Gesammelte mathematische und physikalische Werke, in 3 vols. Friedrich Engel ed. Leipzig: B.G. Teubner. Reprinted 1972, New York: Johnson.

แหล่งข้อมูลทุติยภูมิ

• Crowe, Michael, 1967. A History of Vector Analysis, Notre Dame University Press.
• Fearnley-Sander, Desmond, 1979, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra," American Mathematical Monthly 86: 809–17.
• Fearnley-Sander, Desmond, 1982, "Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra," Am. Math. Monthly 89: 161–66.
• Fearnley-Sander, Desmond, and Stokes, Timothy, 1996, "Area in Grassmann Geometry ". Automated Deduction in Geometry: 141–70
• Ivor Grattan-Guinness (2000) The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Univ. Press.
• Roger Penrose, 2004. The Road to Reality. Alfred A. Knopf.
• Petsche, Hans-Joachim, 2006. Graßmann (Text in German). (Vita Mathematica, 13). Basel: Birkhäuser.
• Petsche, Hans-Joachim, 2009. Hermann Graßmann – Biography. Transl. by M Minnes. Basel: Birkhäuser.
• Petsche, Hans-Joachim; Kannenberg, Lloyd; Keßler, Gottfried; Liskowacka, Jolanta (eds.), 2009. Hermann Graßmann – Roots and Traces. Autographs and Unknown Documents. Text in German and English. Basel: Birkhäuser.
• Petsche, Hans-Joachim; Lewis, Albert C.; Liesen, Jörg; Russ, Steve (eds.), 2010. From Past to Future: Graßmann's Work in Context. The Graßmann Bicentennial Conference, September 2009. Basel: Springer Basel AG.
• Petsche, Hans-Joachim and Peter Lenke (eds.), 2010. International Grassmann Conference. Hermann Grassmann Bicentennial: Potsdam and Szczecin, 16–19 September 2009; Video Recording of the Conference. 4 DVD's, 16:59:25. Potsdam: Universitätsverlag Potsdam.
• Rowe, David E. (2010) "Debating Grassmann's Mathematics: Schlegel Versus Klein", Mathematical Intelligencer 32(1):41–8.
• Victor Schlegel (1878) Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke on the Internet Archive.
• Schubring, G., ed., 1996. Hermann Gunther Grassmann (1809–1877): visionary mathematician, scientist and neohumanist scholar. Kluwer.

Extensive online bibliography, revealing substantial contemporary interest in Grassmann's life and work. References each chapter in Schubring.

• Paola Cantù: La matematica da scienza delle grandezze a teoria delle forme. L’Ausdehnungslehre di H. Grassmann [Mathematics from Science of Magnitudes to Theory of Forms. The Ausdehnungslehre of H. Grassmann]. Genoa: University of Genoa. Dissertation, 2003, s. xx+465.

ข้อมูลอ้างอิงในเอกสารสิทธิบัตร

แหล่งข้อมูลอื่น

• The MacTutor History of Mathematics archive:
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Keeplearn/กระบะทราย", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  • Abstract Linear Spaces. Discusses the role of Grassmann and other 19th century figures in the invention of linear algebra and vector spaces.
• Fearnley-Sander's home page.
• Grassmann Bicentennial Conference (1809 – 1877), September 16 – 19, 2009 Potsdam / Szczecin (DE / PL): From Past to Future: Grassmann's Work in Context
• "The Grassmann method in projective geometry" A compilation of English translations of three notes by Cesare Burali-Forti on the application of Grassmann's exterior algebra to projective geometry
• C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" (English translation of book by an early disciple of Grassmann)
• "Mechanics, according to the principles of the theory of extension" An English translation of one Grassmann's papers on the applications of exterior algebra