ค่าเฉลี่ย

ในภาษาพูด ค่าเฉลี่ย คือตัวเลขหนึ่งตัวที่เป็นตัวแทนของรายการตัวเลขที่ไม่ว่าง ความหมายของค่าเฉลี่ยที่ต่างกันจะใช้ในบริบทที่ต่างกัน โดยส่วนมาก "ค่าเฉลี่ย" จะหมายถึงมัชฌิมเลขคณิต คือผลรวมของตัวเลขหารด้วยจำนวนตัวเลขที่นำมาเฉลี่ย ในสถิติศาสตร์ มัชฌิม มัธยฐาน และ ฐานนิยม ต่างเป็นการวัดแนวโน้มสู่ส่วนกลาง และหหการใช้ในภาษาพูดอันใดในนี้อาจเรียกว่า ค่าเฉลี่ย

สมบัติทั่วไป

ถ้าตัวเลขทุกตัวเป็นเลขเดียวกัน แล้วค่าเฉลี่ยที่ได้จะเท่ากับตัวเลขนั้น สมบัตินี้มีอยู่ในค่าเฉลี่ยหลายชนิด

ชนิด

มัชฌิมพีทาโกรัส

บทความหลัก: มัชฌิมพีทาโกรัส

มัชฌิมเลขคณิต มัชฌิมเรขาคณิต และมัชฌิมฮาร์มอนิก เรียกรวมกันว่า มัชฌิมพีทาโกรัส

มัชฌิมเลขคณิต

บทความหลัก: มัชฌิมเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยที่ใช้กันทั่วไปคือมัชฌิมเลขคณิต ถ้ามีตัวเลข n ตัว และตัวเลขแต่ละตัวกำหนดให้เป็น a_i (ที่ i = 1,2, ..., n) แล้วมัชฌิมเลขคณิตคือผลรวมของ a_i หารด้วย n หรือ

${AM}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$

มัชฌิมเลขคณิต หรือเรียกสั้นๆ ว่ามัชฌิม ของสองตัวเลข เช่น 2 และ 8 สามารถหาได้จากการหาค่าของ A ที่ 2 + 8 = A + A จะได้ A = (2 + 8)/2 = 5 สลับลำดับจาก 2 และ 8 เป็น 8 และ 2 จะไม่เปลี่ยนผลลัพท์ของค่า A มัชฌิม 5 จะไม่น้อยกว่าค่าน้อยสุด 2 และไม่มากกว่าค่าสูงสุด 8 ถ้าเราเพิ่มจำนวนในรายการเป็น 2, 8 และ 11 มัชฌิมเลขคณิตจะหาได้จากการแก้สมการหาค่า A ในสมการ 2 + 8 + 11 = A + A + A จะได้ A = (2 + 8 + 11)/3 = 7

มัชฌิมเรขาคณิต

มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนบวก n ตัวหาได้จากการคูณตัวเลขทุกตัว แล้วถอดรากที่ n ในเชิงพีชคณิต มัชฌิมเรขาคณิตของ a₁, a₂, ..., a_n จะนิยามได้ว่า

${GM}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}a_{i}}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

มัชฌิมเรขาคณิตอาจคิดได้เป็นแอนติลอการิทึมของมัชฌิมเลขคณิตของลอการิทึมของตัวเลข

ตัวอย่าง: มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 และ 8 คือ ${GM}={\sqrt {2\cdot 8}}=4$

มัชฌิมฮาร์มอนิก

มัชฌิมฮาร์มอนิกของรายการตัวเลขที่ไม่ว่าง a₁, a₂, ..., a_n ที่ไม่ใช่ 0 ถูกนิยามว่า ส่วนกลับของมัชฌิมเลขคณิตของส่วนกลับของ a_i :

่${HM}={\frac {1}{{\dfrac {1}{n}}\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$

ตัวอย่างหนึ่งที่่มัชฌิมฮาร์มอนิกมีประโยชน์คือ เมื่อหาความเร็วของการขับรถที่มีระยะทางคงที่ เช่น ถ้าความเร็วจาก A ไป B คือ 60 km/h และความเร็วจาก B ไป A คือ 40 km/h แล้วความเร็วมัชฌิมฮาร์มอนิกคือ

${\frac {2}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=48$