ผลต่างระหว่างรุ่นของ "จำนวนจินตภาพ"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ไม่มีความย่อการแก้ไข ป้ายระบุ: เครื่องมือแก้ไขต้นฉบับปี 2560 |
|||
| บรรทัด 1: | บรรทัด 1: | ||
{| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;" |
|||
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''จำนวนจินตภาพ''' ([[ภาษาอังกฤษ|อังกฤษ]] : imaginary number หรือ '''จำนวนจินตภาพแท้''' (real imaginary number)) คือ[[จำนวนเชิงซ้อน]]ที่ค่า[[กำลังสอง]]เป็นจำนวนจริงลบ หรือศูนย์ [[เจโรลาโม การ์ดาโน]] นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีค้นพบและยืนยันว่ามีอยู่ในช่วง ค.ศ. 1500 แต่ยังไม่เข้าใจคุณสมบัติของมันดีนัก และต่อมาถูกนิยามเมื่อ ค.ศ. 1572 โดย[[ราฟาเอล บอมเบลลี]] ในเวลานั้นนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ก็เชื่อกันว่าจำนวนดังกล่าวไม่มีอยู่จริง เพราะบางครั้งก็ถือว่าศูนย์และจำนวนลบไม่มีประโยชน์ หรือไม่มีอยู่จริง ในตอนแรกนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ จำนวนมากยังไม่ยอมเชื่อเรื่องจำนวนจินตภาพ เช่น [[เรอเน เดส์การตส์|เดส์การตส์]] ซึ่งได้เขียนเรื่องดังกล่าวเอาไว้ในตำราของเขา ''[[La Géométrie]]'' ซึ่งมีความหมายว่าทัศนะเชิงวิจารณ์<ref name="Martinez">Alberto A. Martinez, ''Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent'' (Princeton University Press, 2005) , discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.</ref> อย่างไรก็ดี [[เรอเน เดส์การตส์|เดส์การตส์]]เป็นผู้ใช้ศัพท์คำว่าจำนวนจินตภาพอย่างกว้างขวางในงานตีพิมพ์เป็นครั้งแรกใน ค.ศ. 1637 จนในที่สุดจำนวนจินตภาพนี้ได้รับการยอมรับหลังจากงานตีพิมพ์ของ [[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] (1707–1783) และ [[คาร์ล ฟรีดริช เกาส์]] (1777–1855) |
|||
|- |
|||
|{{math|...}} (ทำรูปแบบซ้ำ<br />จากบริเวณสีน้ำเงิน) |
|||
|- |
|||
|{{math|1=''i''<sup>−3</sup> = ''i''}} |
|||
|- |
|||
|{{math|1=''i''<sup>−2</sup> = −1}} |
|||
|- |
|||
|{{math|1=''i''<sup>−1</sup> = −''i''}} |
|||
|- |
|||
|style="background:#cedff2;" | {{math|1=''i''<sup>0</sup> = 1}} |
|||
|- |
|||
|style="background:#cedff2;" | {{math|1=''i''<sup>1</sup> = ''i''}} |
|||
|- |
|||
|style="background:#cedff2;" | {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}} |
|||
|- |
|||
|style="background:#cedff2;" | {{math|1=''i''<sup>3</sup> = −''i''}} |
|||
|- |
|||
|{{math|1=''i''<sup>4</sup> = 1}} |
|||
|- |
|||
|{{math|1=''i''<sup>5</sup> = ''i''}} |
|||
|- |
|||
|{{math|1=''i''<sup>6</sup> = −1}} |
|||
|- |
|||
|{{math|1=''i''<sup>''n''</sup> = ''i''<sup>''m'' </sup> เมื่อ m ≡ n [[เลขคณิตมอดุลาร์|mod]] 4 }} |
|||
|} |
|||
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''จำนวนจินตภาพ''' ({{lang-en|imaginary number}}) เป็น[[จำนวนเชิงซ้อน]]ที่สามารถเขียนเป็น[[จำนวนจริง]]คูณด้วย[[หน่วยจินตภาพ]] {{mvar|i}}<ref group=note>ในด้านวิศวกรรมมักใช้เป็นตัว {{mvar|j}} ถ้า {{mvar|i}} มีความหมายอื่น (เช่น กระแสไฟฟ้า)</ref> ซึ่งกำหนดให้ {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}<ref> |
|||
{{cite book |
|||
|url=https://books.google.com/books?id=SGVfGIewvxkC&pg=PA38 |
|||
|title=Fundamentals of Waves and Oscillations |
|||
|last=Uno Ingard |
|||
|first=K. |
|||
|publisher=Cambridge University Press |
|||
|year=1988 |
|||
|isbn=0-521-33957-X |
|||
|page=38 |
|||
|chapter=Chapter 2 |
|||
}} |
|||
</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Imaginary Number|url=https://mathworld.wolfram.com/ImaginaryNumber.html|access-date=2020-08-10|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> [[ราก (พีชคณิต)|ราก]]ของจำนวนจินตภาพ {{mvar|bi}} คือ {{math|−''b''<sup>2</sup>}} ตัวอย่างเช่น {{math|5''i''}} เป็นจำนวนจินตภาพ และรากของมันคือ {{math|−25}} ในบทนิยาม [[0|ศูนย์]]เป็นทั้งจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&pg=SA11-PA2|title=A Text Book of Mathematics Class XI|last=Sinha|first=K.C.|publisher=Rastogi Publications|year=2008|isbn=978-81-7133-912-9|edition=Second|page=11.2}}</ref> |
|||
ผู้คิดค้นจำนวนจินตภาพคนแรกคือ[[เรอเน เดการ์ต]]ในคริสต์ศตวรรษที่ 17<ref>{{cite book |title=Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes |edition=illustrated |first1=Mariano |last1=Giaquinta |first2=Giuseppe |last2=Modica |publisher=Springer Science & Business Media |year=2004 |isbn=978-0-8176-4337-9 |page=121 |url=https://books.google.com/books?id=Z6q4EDRMC2UC}} [https://books.google.com/books?id=Z6q4EDRMC2UC&pg=PA121 Extract of page 121]</ref> โดยตั้งเป็นคำดูถูกและถือกันว่าไม่มีอยู่จริงหรือไร้ประโยชน์ แนวคิดนี้ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางหลังจากงานตีพิมพ์ของ[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] (ในคริสต์ศตวรรษที่ 18) และ[[ออกุสแต็ง-ลุยส์ โกชี]]กับ[[คาร์ล ฟรีดริช เกาส์]] (ในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19) |
|||
จำนวนจินตภาพ {{math|''bi''}} สามารถเพิ่มเป็นจำนวนจริง {{mvar|a}} เพื่อทำให้เกิดจำนวนซ้อนในรูป {{math|''a'' + ''bi''}} โดยจำนวนจริง {{mvar|a}} และ {{mvar|b}} ถูกเรียกตามลำดับว่า ''ส่วนจริง'' กับ ''ส่วนจินตภาพ'' ของจำนวนเชิงซ้อน<ref>{{cite book |title= College Algebra: Enhanced Edition |edition= 6th |first1= Richard |last1= Aufmann |first2= Vernon C. |last2= Barker |first3= Richard |last3= Nation |publisher= Cengage Learning |year= 2009 |isbn= 1-4390-4379-5 |page= 66 |url= https://books.google.com/books?id=fjRa8Koq-RgC&pg=PA66}}</ref><ref group=note>ทั้งส่วนจริงกับส่วนจินตภาพถูกเรียกรวมเป็นจำนวนจริง</ref> |
|||
== นิยาม == |
== นิยาม == |
||
| บรรทัด 26: | บรรทัด 68: | ||
:... |
:... |
||
:เป็นต้น |
:เป็นต้น |
||
==หมายเหตุ== |
|||
{{Reflist|group=note}} |
|||
== อ้างอิง == |
== อ้างอิง == |
||
{{รายการอ้างอิง}} |
{{รายการอ้างอิง}} |
||
==บรรณานุกรม== |
|||
* {{Cite book |first= Paul |last= Nahin |title= An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1 |location= Princeton |publisher= Princeton University Press |year= 1998 |isbn= 0-691-02795-1 |url-access= registration |url= https://archive.org/details/imaginarytales00nahi }}, explains many applications of imaginary expressions. |
|||
==แหล่งข้อมูลอื่น== |
|||
{{Wiktionary}} |
|||
* [https://www.math.toronto.edu/mathnet/answers/imagexist.html How can one show that imaginary numbers really do exist?] – an article that discusses the existence of imaginary numbers. |
|||
* [https://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers4.shtml 5Numbers programme 4] BBC Radio 4 programme |
|||
* [http://www2.dsu.nodak.edu/users/mberg/Imaginary/imaginary.htm Why Use Imaginary Numbers?] Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers |
|||
[[หมวดหมู่:พีชคณิต]] |
[[หมวดหมู่:พีชคณิต]] |
||
รุ่นแก้ไขเมื่อ 21:52, 13 มิถุนายน 2564
| ... (ทำรูปแบบซ้ำ จากบริเวณสีน้ำเงิน) |
| i−3 = i |
| i−2 = −1 |
| i−1 = −i |
| i0 = 1 |
| i1 = i |
| i2 = −1 |
| i3 = −i |
| i4 = 1 |
| i5 = i |
| i6 = −1 |
| in = im เมื่อ m ≡ n mod 4 |
ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนจินตภาพ (อังกฤษ: imaginary number) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถเขียนเป็นจำนวนจริงคูณด้วยหน่วยจินตภาพ i[note 1] ซึ่งกำหนดให้ i2 = −1[1][2] รากของจำนวนจินตภาพ bi คือ −b2 ตัวอย่างเช่น 5i เป็นจำนวนจินตภาพ และรากของมันคือ −25 ในบทนิยาม ศูนย์เป็นทั้งจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ[3]
ผู้คิดค้นจำนวนจินตภาพคนแรกคือเรอเน เดการ์ตในคริสต์ศตวรรษที่ 17[4] โดยตั้งเป็นคำดูถูกและถือกันว่าไม่มีอยู่จริงหรือไร้ประโยชน์ แนวคิดนี้ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางหลังจากงานตีพิมพ์ของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ในคริสต์ศตวรรษที่ 18) และออกุสแต็ง-ลุยส์ โกชีกับคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (ในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19)
จำนวนจินตภาพ bi สามารถเพิ่มเป็นจำนวนจริง a เพื่อทำให้เกิดจำนวนซ้อนในรูป a + bi โดยจำนวนจริง a และ b ถูกเรียกตามลำดับว่า ส่วนจริง กับ ส่วนจินตภาพ ของจำนวนเชิงซ้อน[5][note 2]
นิยาม
จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ z อาจเขียนได้ดังนี้
- ,
โดยที่ และ เป็น จำนวนจริง (real number) และ เป็นหน่วยจินตภาพ (imaginary unit) ซึ่งมีคุณสมบัติตามนิยาม ดังนี้
จำนวน นิยามได้จาก
เป็นส่วนจริง (real part) ของจำนวนเชิงซ้อน , และ , นิยามได้จาก
เป็นส่วนจินตภาพ (imaginary part) แม้ว่าเดิมนั้นเดการ์ตส์จะใช้คำว่า "จำนวนจินตภาพ" เพื่อหมายถึงสิ่งที่ปัจจุบันนี้รู้จักกันว่า "จำนวนเชิงซ้อน" (complex number) แต่คำว่า "จำนวนจินตภาพ" ในปัจจุบัน ก็มักจะหมายถึงจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเท่ากับ 0 นั่นคือ จำนวนที่อยู่ในรูป i y ศูนย์ (0) เป็นเพียงจำนวนเดียวที่เป็นทั้งจำนวนจริง และจำนวนจินตภาพ
บทแทรก
- ...
- เป็นต้น
หมายเหตุ
อ้างอิง
- ↑ Uno Ingard, K. (1988). "Chapter 2". Fundamentals of Waves and Oscillations. Cambridge University Press. p. 38. ISBN 0-521-33957-X.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Imaginary Number". mathworld.wolfram.com (ภาษาอังกฤษ). สืบค้นเมื่อ 2020-08-10.
- ↑ Sinha, K.C. (2008). A Text Book of Mathematics Class XI (Second ed.). Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
- ↑ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121
- ↑ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th ed.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 1-4390-4379-5.
บรรณานุกรม
- Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1., explains many applications of imaginary expressions.
แหล่งข้อมูลอื่น
วิกิพจนานุกรม มีความหมายของคำว่า จำนวนจินตภาพ
- How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
- 5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
- Why Use Imaginary Numbers? Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers
 | บทความคณิตศาสตร์นี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มเติมข้อมูล |