เซตวีตาลี

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะทฤษฎีเมเชอร์ เซตวีตาลี (อังกฤษ: Vitali set) เป็นตัวอย่างของเซตของจำนวนจริงที่ไม่สามารถหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ เซตดังกล่าวถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย จูเซปเป วีตาลี ในปี ค.ศ. 1905 ทฤษฎีบทวีตาลีเป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่ามีเซตดังกล่าวอยู่จริง เซตวีตาลีมีมากมายเป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้ และการมีอยู่ของเซตดังกล่าวต้องอาศัยสัจพจน์ของการเลือก ในปี ค.ศ. 1970 โรเบิร์ต โซโลเวย์ได้สร้างโมเดลของทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลที่ไม่มีสัจพจน์การเลือก และทุกสับเซตของเซตของจำนวนจริงหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ โดยอาศัยการมีอยู่ของ inaccessible cardinal เรียกว่า โมเดลของโซโลเวย์

การสร้างและสมบัติการหาเมเชอร์ไม่ได้

การเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะ

เซตวิตาลีคือเซตย่อยของช่วงปิด $[0,1]$ ซึ่งมีสมบัติว่า สำหรับจำนวนจริง $r$ ใด ๆ จะมีจำนวนจริง $v\in V$ เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ $v-r$ เป็นจำนวนตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะ $\mathbb {Q}$ เป็นสับกรุปปรกติของเซตของจำนวนจริง $\mathbb {R}$ ภายใต้การบวก ดังนั้นจึงหากรุปผลหาร $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ ได้ ซึ่งกรุปผลหารดังกล่าวมีสมาชิกเป็นโคเซตของจำนวนตรรกยะในรูป $\mathbb {Q} +r$ สำหรับบาง $r\in \mathbb {R}$

สมาชิกในกรุป $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ เป็นเซตที่แบ่งกั้น $\mathbb {R}$ และแต่ละสมาชิกหนาแน่นใน $\mathbb {R}$ ดังนั้นอินเตอร์เซคชั่นของสมาชิกใน $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ และเซต $[0,1]$ไม่เป็นเซตว่าง โดนอาศัยสัจพจน์ของการเลือก เราสามารถหาสมาชิกมาหนึ่งตัวจากแต่ละอินเตอร์เซคชั่นนั้นมารวมกันได้เป็นเซตเซตหนึ่ง เซตใด ๆ ที่สร้างมาและมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า เซตวีตาลี

เซตวีตาลีทุกเซตมีขนาดอนันต์นับไม่ได้ และ $v-u$ เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับทุก $u,v\in V$ที่ซึ่ง $u\neq v$

การหาเมเชอร์ไม่ได้

เซตวีตาลี $V$ ใด ๆ หาเมเชอร์ไม่ได้

พิสูจน์ —

การพิสูจน์ใช้การพิสูจน์โดยหาข้อขัดแย้ง ให้ $q_{1},q_{2},\dotsc$ เป็นการเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะในช่วง $[-1,1]$ จากการสร้างจะเห็นว่า เซต $V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}$ ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเซต $V$ เป็นเซตที่ไม่มีส่วนร่วมกันทุกคู่เมื่อ $k=1,2,\dotsc$ และยิ่งไปกว่านั้น

$[0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2]$

เพื่อพิสูจน์การเป็นสับเซตตอนแรก พิจารณาจำนวนจริง $r$ใด ๆ ในช่วง $[0,1]$ และให้ $v\in V$ เป็นตัวแทนของชั้นสมมูล $[r]$ แล้วจะได้ว่า $r-v=q_{i}$ สำหรับบางจำนวนตรรกยะ $q_{i}\in [-1,1]$ จึงทำให้ $r\in V_{i}$

หาเมเชอร์เลอเบกของเซตข้างต้น:

$1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3$

เนื่องจากเมเชอร์เลอเบกมีค่าเท่าเดิมภายใต้การเลื่อนขนาน ส่งผลให้ $\lambda (V_{k})=\lambda (V)$ และได้ว่า

$1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3$

ซึ่งทำให้เกิดข้อขัดแย้ง เพราะผลรวมอนันต์ของ $\lambda (V)$ เป็นได้สองค่าคือ 0 หรืออนันต์เท่านั้น ทั้งนี้เป็นเพราะว่า $\lambda (V)$ มีได้สองค่าคือเป็นศูนย์หรือจำนวนจริงบวกสักตัว ดังนั้น $V$ หาเมเชอร์ไม่ได้

ดูเพิ่ม

• เซตหาเมเชอร์ไม่ได้
• ปฏิทรรศน์บานาค-ทาร์สกี

บรรณานุกรม

• Herrlich, Horst (2006). Axiom of Choice. Springer. p. 120.
• Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani.