ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับในปริภูมิยูคลิเดียน Rⁿ โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rⁿ จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ Rⁿ จะเป็นเซตกระชับเชิงลำดับ (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส

ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์

ข้อความ

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สำหรับ $\mathbb {R} ^{n}$ — ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rⁿ จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า

พิสูจน์

ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ $\mathbb {R} ^{1}$ (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน $\mathbb {R}$ ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้

บทตั้ง — ทุกลำดับอนันต์ $(x_{n})$ ใน $\mathbb {R}$ มีลำดับย่อยที่เป็นลำดับทางเดียว

พิสูจน์ —

เราจะเรียกดัชนีค่าบวก $n$ ของลำดับว่าเป็น จุดพีค ของลำดับ ก็ต่อเมื่อเมื่อ $x_{m}<x_{n}$ สำหรับทุก $m>n$ สมมุติว่าลำดับมีจุดพีคเป็นอนันต์ แปลว่ามีลำดับย่อยที่สร้างจากดัชนี$n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots <n_{j}<\dots$ และสอดคล้องกับเงื่อนไขว่า $x_{n_{1}}>x_{n_{2}}>x_{n_{3}}>\dots >x_{n_{j}}>\dots$ . ดังนั้น ลำดับอนันต์ $(x_{n})$ ใน $\mathbb {R}$ มีลำดับทางเดียวคือ $(x_{n_{j}})$ นั้น

แต่ถ้าลำดับมีจุดพีคเพียงจำนวนจำกัดตัว ให้ $N$ เป็นจุดพีคสุดท้ายของลำดับ จากนั้นพิจารณาลำดับย่อย $(x_{n_{j}})$ ที่มีดัชนีตัวแรกคือ $n_{1}=N+1$ จะเงื่อนไขได้ว่า $n_{1}$ ไม่เป็นจุดพีค เพราะ $n_{1}$ มาทีหลังจุดพีคสุดท้ายที่เป็นไปได้ ดังนั้นจะต้องมี $n_{2}$ ที่ซึ่ง $n_{1}<n_{2}$ และ $x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}$

เช่นกัน จาก $n_{2}$ มาทีหลังจุดพีคสุดท้าย จะต้องมี $n_{3}$ ที่ซึ่ง $n_{2}<n_{3}$ และทำให้ $x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}$ ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ลำดับไม่ลด $x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots$ ซึ่งเป็นลำดับย่อยของ $(x_{n})$ ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าทุกลำดับอนันต์ $(x_{n})$ ใน $\mathbb {R}$ มีลำดับย่อยทางเดียว

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า $(x_{n})$ เป็นลำดับมีขอบเขต ใน $\mathbb {R}$ โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียวลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า

สำหรับกรณีทั่วไป ($\mathbb {R} ^{n}$) จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดลำดับมีขอบเขตใน $\mathbb {R} ^{n}$ ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด $n$ ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า

บทพิสูจน์แบบอื่น

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้การแบ่งครึ่งช่วง เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต $(x_{n})$ :

• 
  เพราะ $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ มีขอบเขต ลำดับนี้จึงมีขอบเขตล่าง $s$ และขอบเขตบน $S$ .
• 
  เราใช้ $I_{1}=[s,S]$ เป็นช่วงแรกในการพิสูจน์
• 
  จากนั้นแบ่ง $I_{1}$ ออกเป็นสองช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันที่กึ่งกลาง
• 
  เนื่องจากลำดับ $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ เป็นจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะต้องมี (อย่างน้อย) หนึ่งในสองช่วงย่อยที่มีสมาชิกเป็นอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงที่สอง $I_{2}$
• 
  จากนั้นเราก็แบ่ง $I_{2}$ อีกครั้งให้เป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันสองช่วง
• 
  เช่นกัน ในช่วงย่อยเหล่านี้จะมีช่วงย่อยอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีสมาชิกของ $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงย่อยที่สาม $I_{3}$
• 
  เราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ช่วงย่อยที่ซ้อนกันเป็นอนันต์ ($I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\dotsb$)

เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดยทฤษฎีบทช่วงซ้อน ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }=([a_{n},b_{n}])_{n\in \mathbb {N} }$ เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่ $a_{n}\leq b_{n}$) แล้วอินเตอร์เซคชัน ${\textstyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า ${\textstyle x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ เป็นจุดเกาะกลุ่มของ $(x_{n})$

กำหนดย่านใกล้เคียง $U$ ของ $x$ ใด ๆ มา เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง$I_{N}$ ที่เป็นสับเซตแท้ของ $U$ เนื่องจาก $I_{N}$ บรรจุสมาชิกของ $(x_{n})$ เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ $I_{N}\subseteq U$, ดังนั้น $U$ บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ $(x_{n})$ทำให้ได้ว่า $x$ เป็นจุดเกาะกลุ่มของ $(x_{n})$ ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ $(x_{n})$ ที่ลู่เข้า $x$

ดูเพิ่ม

• ปริภูมิกระชับเชิงลำดับ
• ทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรล
• ความบริบูรณ์ของจำนวนจริง
• หลักการแปรผันของเอเคอลองด์

บรรณานุกรม

• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd ed.). New York: J. Wiley.
• Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.
• Garling, D. J. H. (2013). A course in mathematical analysis. Volume 1, Foundations and elementary real analysis. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-31469-6. OCLC 842256400.
• Pugh, C. C. (2015). Real mathematical analysis (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-17771-7. OCLC 915757451.