การค้นหาในแนวกว้าง
ในทฤษฎีกราฟ การค้นหาตามแนวกว้าง (อังกฤษ: breadth-first search หรือย่อว่า BFS) คือขั้นตอนวิธีในการท่องกราฟอย่างหนึ่ง โดยในขณะที่กำลังท่องกราฟมายังจุดยอดหนึ่ง ๆ นั้น จะมีการกระทำสองอย่างคือ: (ก) เข้าเยี่ยมและตรวจสอบจุดยอดดังกล่าว (ข) เข้าถึงจุดยอดข้างเคียงของจุดยอดดังกลาว การท่องกราฟจะเริ่มต้นที่จุดยอดรากที่กำหนดและไปยังจุดยอดอื่น ๆ จนเกิดเป็นต้นไม้แบบทอดข้าม การท่องกราฟอีกรูปแบบที่คล้ายคลึงกันคือการค้นหาในแนวลึก
การค้นในลักษณะนี้ถูกใช้เป็นแนวคิดพื้นฐานในการแก้ปัญหาทฤษฏีกราฟรวมถึงการค้นในปริภูมิสถานะ
เนื่องจากมีลักษณะของการแวะผ่านปมไปทีละระดับ จึงเรียกอีกอย่างว่า การค้นทีละระดับ (Level-order search)
ลักษณะโดยทั่วไป
[แก้]
การค้นตามแนวกว้าง มีลักษณะการค้นหาลงไปทีละระดับ โดยการตรวจสอบระดับลูกทั้งหมดก่อน จึงลงไประดับถัดไป ซึ่งสามารถสร้างการค้นแบบนี้โดยใช้แถวคอย เพื่อให้ปมถูกค้นตามลำดับของระดับชั้น
เนื่องจากการค้นแบบนี้เป็นการค้นที่มีระบบ กล่าวคือไม่มีการตัดสินใจเลือกเส้นทางระหว่างการค้น แต่จะทำการค้นไปเรื่อยๆ ตามรูปแบบจนเจอคำตอบ จึงจัดอยู่ในกลุ่มของการค้นแบบ Blind Search หรือ Uniformed Search
ขั้นตอนวิธี
[แก้]- เพิ่มปมเริ่มต้นลงในแถวคอย
- นำปมออกจากแถวคอย ทำสัญลักษณ์แสดงการแวะผ่านแล้ว จากนั้นตรวจสอบดังนี้
- ถ้าเป็นปมที่สนใจหรือคำตอบ ให้ยุติการค้นหาและส่งคืนค่าผลลัพธ์
- ทำการเพิ่มปมลูกที่ยังไม่เคยแวะผ่านทุกปมลงในแถวคอย
- หากแถวคอยว่าง แสดงว่าจบการค้นหา
- หากแถวคอยไม่ว่าง ให้กลับไปขั้นตอนที่ 2
codes
[แก้]
- เมื่อกำหนดสถานะของปมดังนี้
- WHITE ปมยังไม่เคยถูกค้น
- GRAY ปมอยู่ในแถวคอย
- BLACK ปมถูกค้นเรียบร้อยแล้ว
BFS(G(V,E), s) {
for each v in V {
color[v] <- WHITE;
}
Q = an empty queue;
Q.enqueue(s);
color[s] <- GRAY
while (Q is not an empty queue) {
u <- Q.dequeue();
color[u] <- BLACK;
for(each v that adjacent with u) {
if(color[v]=WHITE) {
Q.enqueue(v);
color[v] = GRAY;
}
}
}
}
ตัวอย่าง
[แก้]
- ภาพตัวอย่างแสดงการเชื่อมโยงของเมืองในประเทศโรมาเนีย
- เมื่อใช้การค้นตามแนวกว้างกับกราฟนี้ จะได้ลำดับการค้นดังนี้
Arad > Timisora > Zerind > Sibiu > Craivora > Oradea > Rimnicu > Fagaras > Pitesti > Bucharest
คุณสมบัติ
[แก้]ความซับซ้อนด้านพื้นที่
[แก้]- เมื่อกำหนดให้หนึ่งปมมีปมลูก b และกราฟมีความสูง h จะพบว่าในแต่ละระดับจะมีจำนวนปมทั้งสิ้น bh
- ดังนั้นสามารถวิเคราะห์ความซับซ้อนของพื้นที่ได้เป็น O(bh)
- นอกจากนี้ยังสามารถแทนความซับซ็อนของพื้นที่ในรูปของจำนวนปมคือ O(|V|) เมื่อ V แทนเซ็ตของปมในกราฟ
ความซับซ้อนด้านเวลา
[แก้]- พิจารณาลำดับการผ่านปมของการค้นตามแนวกว้างจะพบว่าในแต่ละครั้งของการค้นหา จะผ่านปมหนึ่งๆเพียงหนึ่งครั้งเท่านั้น ดังนั้นจึงใช้เวลาไม่เกิน O(|V|)
- ในขณะเดียวกัน การผ่านเส้นเชื่อมในแต่ละครั้งของการค้นจะผ่านเพียงเส้นละหนึ่งครั้งเช่นกัน ดังนั้นจึงใช้เวลาไม่เกิน O(|E|)
- ดังนั้นในกรณีเลวร้ายที่สุดของการค้นตามแนวกว้างที่ต้องผ่านทุกปมและทุกเส้นเชื่อม จะสามารถวิเคราะห์เวลาของการทำงานได้เป็น O(|V| + |E|)
ความสมบูรณ์
[แก้]- หากมีคำตอบหรือปมที่สนใจอยู่ในกราฟ ไม่ว่ากราฟนั้นจะเป็นกราฟอนันต์หรือไม่ การค้นตามแนวกว้างจะสามารถการันตีได้ว่าจะต้องเจอคำตอบเสมอ
การได้คำตอบเหมาะสมที่สุด
[แก้]- คำตอบแรกที่ได้จากการค้นหาตวามแนวกว้าง จะมีระยะห่างจากปมเริ่มต้นเป็นระยะทางสั้นที่สุดเสมอ (เมื่อวัดจากจำนวนเส้นเชื่อม)
- แต่ในกรณีที่เป็นกราฟมีน้ำหนัก (Weighted Graph) คำตอบที่ได้อาจไม่ใช่ระยะทางสั้นสุด ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยการใช้การค้นหาตามค่าทุนอย่างมีเอกรูป
การประยุกต์ใช้งาน
[แก้]การค้นตามแนวกว้างสามารถใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆของทฤษฏีกราฟได้เช่น
- การหาจุดยอดภายในส่วนประกอบที่เชื่อมกัน
- หาวงจรอย่างง่าย ในกราฟ
- หาป่าไม้แผ่ขยาย ในกราฟ
- หาระยะทางสั้นสุดระหว่างสองปม เช่นขั้นตอนวิธีของพริมและขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา
- ตรวจสอบความเป็นกราฟสองส่วน (Bipartiteness)
- ใช้ในขั้นตอนวิธีของเชนีย์
- ใช้ในขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-เฟอลเกอสัน (Ford–Fulkerson method) ในการคำนวณการไหลสูงสุด (Maximum Flow) ในเครือข่ายการไหล (Flow Network)
อ้างอิง
[แก้]- Knuth, Donald E. (1997), The Art Of Computer Programming Vol 1. 3rd ed., Boston: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2008-09-04, สืบค้นเมื่อ 2011-09-29
- สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล (2010). การออกแบบและวิเคราะห์อัลกอริทึม. ISBN 9786165511940.
- http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/Algorithms/MyAlgorithms/GraphAlgor/breadthSearch.htm
- http://intelligence.worldofcomputing.net/ai-search/breadth-first-search.htmlเก็บถาวร 2013-08-31 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
แหล่งข้อมูลอื่น
[แก้]