การค้นหาในแนวกว้าง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ภาพแสดงลำดับการค้นของการค้นตามแนวกว้าง

ในทฤษฎีกราฟ การค้นหาตามแนวกว้าง (อังกฤษ: breadth-first search หรือย่อว่า BFS) คือขั้นตอนวิธีในการท่องกราฟอย่างหนึ่ง โดยในขณะที่กำลังท่องกราฟมายังจุดยอดหนึ่ง ๆ นั้น จะมีการกระทำสองอย่างคือ: (ก) เข้าเยี่ยมและตรวจสอบจุดยอดดังกล่าว (ข) เข้าถึงจุดยอดข้างเคียงของจุดยอดดังกล่าว การท่องกราฟจะเริ่มต้นที่จุดยอดรากที่กำหนดและไปยังจุดยอดอื่น ๆ จนเกิดเป็นต้นไม้แบบทอดข้าม การท่องกราฟอีกรูปแบบที่คล้ายคลึงกันคือการค้นหาในแนวลึก

การค้นในลักษณะนี้ถูกใช้เป็นแนวคิดพื้นฐานในการแก้ปัญหาทฤษฏีกราฟรวมถึงการค้นในปริภูมิสถานะ

เนื่องจากมีลักษณะของการแวะผ่านปมไปทีละระดับ จึงเรียกอีกอย่างว่า การค้นทีละระดับ (Level-order search)

ลักษณะโดยทั่วไป[แก้]

ภาพแสดงลำดับการค้นของการค้นตามแนวกว้าง

การค้นตามแนวกว้าง มีลักษณะการค้นหาลงไปทีละระดับ โดยการตรวจสอบระดับลูกทั้งหมดก่อน จึงลงไประดับถัดไป ซึ่งสามารถสร้างการค้นแบบนี้โดยใช้แถวคอย เพื่อให้ปมถูกค้นตามลำดับของระดับชั้น

เนื่องจากการค้นแบบนี้เป็นการค้นที่มีระบบ กล่าวคือไม่มีการตัดสินใจเลือกเส้นทางระหว่างการค้น แต่จะทำการค้นไปเรื่อยๆ ตามรูปแบบจนเจอคำตอบ จึงจัดอยู่ในกลุ่มของการค้นแบบ Blind Search หรือ Uniformed Search

ขั้นตอนวิธี[แก้]

  1. เพิ่มปมเริ่มต้นลงในแถวคอย
  2. นำปมออกจากแถวคอย ทำสัญลักษณ์แสดงการแวะผ่านแล้ว จากนั้นตรวจสอบดังนี้
    • ถ้าเป็นปมที่สนใจหรือคำตอบ ให้ยุติการค้นหาและส่งคืนค่าผลลัพธ์
    • ทำการเพิ่มปมลูกที่ยังไม่เคยแวะผ่านทุกปมลงในแถวคอย
  3. หากแถวคอยว่าง แสดงว่าจบการค้นหา
  4. หากแถวคอยไม่ว่าง ให้กลับไปขั้นตอนที่ 2

รหัสเทียม[แก้]

ภาพแสดงการเปลี่ยนสถานะของปมตามรหัสเทียม
เมื่อกำหนดสถานะของปมดังนี้
  • WHITE ปมยังไม่เคยถูกค้น
  • GRAY ปมอยู่ในแถวคอย
  • BLACK ปมถูกค้นเรียบร้อยแล้ว
       BFS(G(V,E), s) {
           for each v in V {
               color[v] <- WHITE;
           }
           Q = an empty queue;
           Q.enqueue(s);
           color[s] <- GRAY
           while (Q is not an empty queue) {
               u <- Q.dequeue();
               color[u] <- BLACK;
               for(each v that adjacent with u) {
                   if(color[v]=WHITE) {
                       Q.enqueue(v);
                       color[v] = GRAY;
                   }
               }
           }
       }

ตัวอย่าง[แก้]

445
ภาพตัวอย่างแสดงการเชื่อมโยงของเมืองในประเทศโรมาเนีย
เมื่อใช้การค้นตามแนวกว้างกับกราฟนี้ จะได้ลำดับการค้นดังนี้
       Arad > Timisora > Zerind > Sibiu > Craivora > Oradea > Rimnicu > Fagaras > Pitesti > Bucharest

คุณสมบัติ[แก้]

ความซับซ้อนด้านพื้นที่[แก้]

เมื่อกำหนดให้หนึ่งปมมีปมลูก b และกราฟมีความสูง h จะพบว่าในแต่ละระดับจะมีจำนวนปมทั้งสิ้น bh
ดังนั้นสามารถวิเคราะห์ความซับซ้อนของพื้นที่ได้เป็น O(bh)
นอกจากนี้ยังสามารถแทนความซับซ็อนของพื้นที่ในรูปของจำนวนปมคือ O(|V|) เมื่อ V แทนเซ็ตของปมในกราฟ

ความซับซ้อนด้านเวลา[แก้]

พิจารณาลำดับการผ่านปมของการค้นตามแนวกว้างจะพบว่าในแต่ละครั้งของการค้นหา จะผ่านปมหนึ่งๆเพียงหนึ่งครั้งเท่านั้น ดังนั้นจึงใช้เวลาไม่เกิน O(|V|)
ในขณะเดียวกัน การผ่านเส้นเชื่อมในแต่ละครั้งของการค้นจะผ่านเพียงเส้นละหนึ่งครั้งเช่นกัน ดังนั้นจึงใช้เวลาไม่เกิน O(|E|)
ดังนั้นในกรณีเลวร้ายที่สุดของการค้นตามแนวกว้างที่ต้องผ่านทุกปมและทุกเส้นเชื่อม จะสามารถวิเคราะห์เวลาของการทำงานได้เป็น O(|V| + |E|)

ความสมบูรณ์[แก้]

หากมีคำตอบหรือปมที่สนใจอยู่ในกราฟ ไม่ว่ากราฟนั้นจะเป็นกราฟอนันต์หรือไม่ การค้นตามแนวกว้างจะสามารถการันตีได้ว่าจะต้องเจอคำตอบเสมอ

การได้คำตอบเหมาะสมที่สุด[แก้]

คำตอบแรกที่ได้จากการค้นหาตวามแนวกว้าง จะมีระยะห่างจากปมเริ่มต้นเป็นระยะทางสั้นที่สุดเสมอ (เมื่อวัดจากจำนวนเส้นเชื่อม)
แต่ในกรณีที่เป็นกราฟมีน้ำหนัก (Weighted Graph) คำตอบที่ได้อาจไม่ใช่ระยะทางสั้นสุด ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยการใช้การค้นหาตามค่าทุนอย่างมีเอกรูป

การประยุกต์ใช้งาน[แก้]

การค้นตามแนวกว้างสามารถใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆของทฤษฏีกราฟได้เช่น

  1. การหาจุดยอดภายในส่วนประกอบที่เชื่อมกัน
  2. หาวงจรอย่างง่าย ในกราฟ
  3. หาป่าไม้แผ่ขยาย ในกราฟ
  4. หาระยะทางสั้นสุดระหว่างสองปม เช่นขั้นตอนวิธีของพริมและขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา
  5. ตรวจสอบความเป็นกราฟสองส่วน (Bipartiteness)
  6. ใช้ในขั้นตอนวิธีของเชนีย์
  7. ใช้ในขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-เฟอลเกอสัน (Ford–Fulkerson method) ในการคำนวณการไหลสูงสุด (Maximum Flow) ในเครือข่ายการไหล (Flow Network)


อ้างอิง[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]