กฎของมาลุส

ภาพประกอบของกฎของมาลุส: แสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงซึ่งมีกแกนโพลาไรซ์ตามลูกศรดำแผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ซึ่งมีแกนชี้ตามลูกศรแดงซึ่งทำมุมต่างกัน $\theta$ ผลที่ได้คือคลื่นสีแดงทางขวาซึ่งถูกลดทอนลงมีทิศแกนตรงกับแกนของโพลาไรเซอร์

กฎของมาลุส (loi de Malus) เป็นกฎทางทัศนศาสตร์ ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณความเข้มแสงที่ส่งผ่านโพลาไรเซอร์ที่สมบูรณ์แบบ

ประวัติศาสตร์

ชื่อกฎของมาลุสนี้มีที่มาจากชื่อเอเตียน-หลุยส์ มาลุส นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส ผู้ซึ่งได้ค้นพบกฎนี้ในปี 1809

หลักการ

สมมติว่าคลื่นของแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงแผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ ให้มุม θ เป็นมุมระหว่างแกนโพลาไรเซชันของคลื่นแสงนี้กับแกนของโพลาไรเซอร์ คลื่นที่ส่งผ่านออกมาจะถูกโพลาไรซ์ตามแกนของโพลาไรเซอร์ โดยจะถูกลดทอนด้วยปัจจัยบางอย่าง ถ้าเราสังเกตความเข้มขาเข้า $I_{0}$ และความเข้มขาออก $I$ จะได้ว่าเป็นไปตามกฎมาลุส คือ

$I=I_{0}\cos ^{2}{(\theta )}$

จากกฎนี้เราจะได้ว่า

• หากโพลาไรเซชันของคลื่นที่ตกกระทบอยู่ในทิศทางเดียวกับแกนของโพลาไรเซอร์ นั่นคือ $\theta =0$ ความเข้มของแสงทั้งหมดจะถูกส่งผ่าน
• หากโพลาไรเซชันของคลื่นที่ตกกระทบตั้งฉากกับแกนของโพลาไรเซอร์ นั่นคือ $\theta =90$ ก็จะไม่เกิดคลื่นขาออก
• หากคลื่นที่ตกกระทบเป็นคลื่นไม่ได้โพลาไรซ์ กล่าวคือ ประกอบด้วยโพลาไรเซชันในทุกทิศที่เป็นไปได้ทั้งหมด แล้วหาค่าเฉลี่ย ของ $I$ เราจะได้ว่า $I=I_{0}/2$ นั่นคือความเข้มลดลงครึ่งหนึ่ง ปรากฏการณ์เช่นนี้อาจสังเกตได้เมื่อมองหลอดไส้ร้อนแบบธรรมดาผ่านโพลาไรเซอร์

การพิสูจน์

โพลาไรเซอร์มีผลทำให้แอมพลิจูดของสนามไฟฟ้า E₀ ของคลื่นที่ส่งผ่านเหลือแค่ในส่วนทิศที่ตรงกับแกนของลาไรเซอร์ ในกรณีของคลื่นแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรง ค่านี้จะเป็นสัดส่วนกับโคไซน์ของมุม θ ดังนั้นแอมพลิจูดขาออกคือ

$E=E_{0}\cos {(\theta )}$

และความเข้มของการส่องสว่าง ตามคำนิยามแล้ว แปรผันตามกำลังสองของแอมพลิจูดของคลื่น

$I_{0}={\overrightarrow {E}}.{\overrightarrow {E}}=E_{0}^{2}$

ดังนั้นเมื่อผ่านโพลาไรเซอร์ ความเข้มแสงจึงเป็น

$I=E_{0}^{2}\cos ^{2}(\theta )=I_{0}\cos ^{2}{(\theta )}$

ในกรณีของคลื่นที่ไม่โพลาไรซ์ สูตรจะพิสูจน์ได้โดยการหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน $\cos ^{2}(\theta )$ ซึ่งหากอนุมานแบบคร่าว ๆ เราจะเห็นว่าค่า $\cos ^{2}(\theta )$ อยู่ในช่วง 0 ถึง 1 เท่านั้น

$\cos(0^{\circ })=1$	$\cos(90^{\circ })=0$	$\cos(180^{\circ })=-1$	$\cos(270^{\circ })=0$
$\cos ^{2}(0^{\circ })=1$	$\cos ^{2}(90^{\circ })=0$	$\cos ^{2}(180^{\circ })=1$	$\cos ^{2}(270^{\circ })=0$

ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ $\cos ^{2}(\theta )$ จึงควรเป็น ${\frac {1}{2}}$ ดังนั้นสูตรคือ $I={\frac {I_{0}}{2}}$

อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์อย่างเข้มงวดควรทำโดยหาค่าเฉลี่ยจากการคำนวณปริพันธ์ โดยฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดเป็น 1 ที่มุม 0° และมีค่าต่ำสุดเป็น 0 ที่มุม 90° ดังนั้น หาค่าเฉลี่ยระหว่างค่าทั้งสองโดย

${\frac {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\color {OliveGreen}\cos ^{2}(\theta )}\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\color {OliveGreen}\left({\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}\right)}\,d\theta }{\pi /2-0}}$

ซึ่งได้มาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

$\color {OliveGreen}\cos ^{2}x={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$

จากนั้นทำการรวบแต่ละพจน์

$={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}1\,d\theta }+{\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos(2\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {{\frac {1}{2}}{{\color {blue}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos(2\theta )\,d\theta }}}{\pi /2-0}}$

เพื่อที่จะแก้หาปริพันธ์ ในที่นี้เราแทน $\color {YellowOrange}u=2\theta$ และ $\color {YellowOrange}d\theta ={\tfrac {du}{2}}$

$={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(u)\,du}}{\pi /2-0}}={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{4}}\displaystyle \left[\sin(u)\right]_{0}^{\pi }}}{\pi /2-0}}$

จากนั้นใช้สมบัติการแจกแจงของการคูณ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก

$={\frac {{\frac {1}{2}}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{4}}\displaystyle \left[\sin(2\theta )\right]_{0}^{\pi /2}}}{\pi /2-0}}={\frac {\left[{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\color {OliveGreen}\sin(2\theta )}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}}{\pi /2-0}}={\frac {\left[{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\color {OliveGreen}2\sin(\theta )\cos(\theta )}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}}{\pi /2-0}}$

ซึ่งได้มาจาก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

${\color {OliveGreen}\sin[2(x)]=2\sin(x)\cos(x)}$

แล้วสุดท้ายก็จะได้

$=\left[{\color {Plum}{\frac {\theta +\sin(\theta )\cos(\theta )}{2}}}\right]_{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cdot {\frac {2}{\pi }}=\left({\color {Plum}F({\tfrac {\pi }{2}})-F(0)}\right)\cdot {\frac {2}{\pi }}={\frac {\color {red}\pi }{4}}\cdot {\frac {2}{\color {red}\pi }}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$

จากผลการหาปริพันธ์ที่ได้นี้ ความเข้มแสงเฉลี่ยทั้งหมดตั้งแต่มุม 0° ถึง 90° จะเป็น

${\bar {I}}={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{I_{0}}\cos ^{2}(\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {{I_{0}}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}(\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={I_{0}}{\frac {\color {red}\pi }{4}}\cdot {\frac {2}{\color {red}\pi }}={I_{0}}{\frac {2}{4}}={\frac {I_{0}}{2}}$

ดังนั้นสำหรับคลื่นที่ไม่โพลาไรซ์ จึงได้ว่า

$I={\frac {I_{0}}{2}}$

นั่นคือเมื่อแสงไม่โพลาไรซ์แผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ ความเข้มจะลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง

การสังเกตการณ์ในการทดลอง

ตัวอย่างภาพด้านล่างนี้เป็นการสังเกตแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงที่มาจากหน้าจอคอมพิวเตอร์ ตามกฎของมาลุส โพลาไรเซอร์ที่วางอยู่ข้างหน้าจะกันแสงโดยขึ้นอยู่กับทิศทางของมัน

• 
• 
• 
• 
•