เมทริกซ์แบบบล็อก

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เมทริกซ์แบบบล็อก (block matrix) หมายถึงเมทริกซ์ใดๆ ที่สามารถแบ่งกลุ่มสมาชิกออกเป็นเมทริกซ์ย่อยที่เรียกว่า บล็อก (block) เมทริกซ์แบบบล็อกจะถูกแบ่งที่ตำแหน่งของสมาชิกที่สามารถเข้ากันได้จัดอยู่ในกลุ่มเดียวกัน และจะต้องแบ่งตามเส้นแนวตั้งหรือเส้นแนวนอนของแถวและหลักทั้งหมด เปรียบเสมือนการตีตารางลงในเมทริกซ์แล้วตัดแบ่งออกเป็นส่วนๆ

ตัวอย่างเมทริกซ์แบบบล็อกเช่น กำหนดให้เมทริกซ์ P

P = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
3 & 3 & 4 & 4 \\
3 & 3 & 4 & 4 \\
\end{bmatrix}

จะเห็นว่ามีสมาชิกที่คล้ายกันอยู่เป็นกลุ่มๆ ซึ่งสามารถตัดแบ่งออกเป็นเมทริกซ์ย่อยขนาด 2×2

P_{11} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \end{bmatrix},\ P_{12} = \begin{bmatrix}
2 & 2 \\
2 & 2\end{bmatrix},\ P_{21} = \begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3 \end{bmatrix},\ P_{22} = \begin{bmatrix}
4 & 4 \\
4 & 4 \end{bmatrix}

ดังนั้นเมทริกซ์ P จึงสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งเป็น

P_{\mathrm{partitioned}} = \begin{bmatrix}
P_{11} & P_{12} \\
P_{21} & P_{22} \end{bmatrix}

เมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก[แก้]

เมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก (block diagonal matrix) คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีบล็อกของเมทริกซ์ย่อยพาดผ่านเส้นทแยงมุมหลัก ซึ่งบล็อกนั้นก็เป็นเมทริกซ์จัตุรัสเช่นกัน และบล็อกอื่นๆ ที่อยู่นอกแนวเส้นทแยงมุมเป็นเมทริกซ์ศูนย์ทั้งหมด หากเขียนในรูปทั่วไปจะได้ว่า

 
A = \begin{bmatrix} 
A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & A_n
\end{bmatrix}

หรืออาจเรียกได้ว่า เมทริกซ์ A คือผลบวกโดยตรง (direct sum) ของเมทริกซ์ A_1,  A_2, ..., A_n เขียนแทนได้ด้วย

A = A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n

หรือเขียนแทนด้วยสัญกรณ์ของเมทริกซ์ทแยงมุม

A = \operatorname{diag} (A_1,  A_2, \ldots, A_n)

สำหรับค่าของดีเทอร์มิแนนต์กับรอยเมทริกซ์ของเมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก มีคุณสมบัติดังนี้

\det A = \det A_1 \times \det A_2 \times \ldots \times \det A_n
\operatorname{tr}\, A = \operatorname{tr}\, A_1 + \operatorname{tr}\, A_2 + \ldots + \operatorname{tr}\, A_n