เมทริกซ์ทแยงมุม
ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์ทแยงมุม คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกนอกเหนือจากเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกล่างขวา (เฉียงลง ↘) ส่วนสมาชิกบนเส้นทแยงมุมสามารถเป็นค่าใดๆ ก็ได้รวมทั้งศูนย์
หากกำหนดให้เมทริกซ์ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×n เมทริกซ์ D จะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ
ตัวอย่างเมทริกซ์ทแยงมุม เช่น
เมทริกซ์ทแยงมุมอาจหมายถึงเมทริกซ์แบบอื่นๆ ที่ไม่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส (มิติ m×n) แต่เข้ากับเงื่อนไขที่ระบุไว้ด้านบน กล่าวคือสมาชิกที่นอกเหนือจาก di, i เป็นศูนย์ เช่น
- หรือ
อย่างไรก็ตาม บทความนี้จะกล่าวถึงเมทริกซ์ทแยงมุมที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ซึ่งเป็นความหมายทั่วไป
เมทริกซ์ทแยงมุมใดๆ เป็นเมทริกซ์สมมาตร และเป็นเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมทั้งบนและล่าง
เมทริกซ์เอกลักษณ์ และเมทริกซ์ศูนย์ที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ล้วนเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม
การดำเนินการบนเมทริกซ์ทแยงมุม
[แก้]การดำเนินการบนเมทริกซ์ได้แก่ การบวกและการคูณเมทริกซ์ เป็นสิ่งที่ง่ายบนเมทริกซ์ทแยงมุม หากเขียนสัญลักษณ์นี้แทนเมทริกซ์ทแยงมุม ซึ่งสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักเป็น จากมุมบนซ้ายไปยังมุมล่างขวาตามลำดับ สำหรับการบวกเมทริกซ์ทแยงมุม จะได้ว่า
และสำหรับการคูณจะได้ว่า
เมทริกซ์ทแยงมุม จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวใน ต้องไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเราจะได้ว่า
อ้างอิง
[แก้]- Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).