เมทริกซ์ทแยงมุม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์ทแยงมุม คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกนอกเหนือจากเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกล่างขวา (เฉียงลง ↘) ส่วนสมาชิกบนเส้นทแยงมุมสามารถเป็นค่าใดๆ ก็ได้รวมทั้งศูนย์

หากกำหนดให้เมทริกซ์ D = (d_{i,j}) เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×n เมทริกซ์ D จะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมก็ต่อเมื่อ

d_{i,j} = 0; \quad i \ne j

สำหรับทุกค่าของ i, j \in \left \{ 1, \ldots, n \right \}

ตัวอย่างเมทริกซ์ทแยงมุม เช่น

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & -3
\end{bmatrix}

เมทริกซ์ทแยงมุมอาจหมายถึงเมทริกซ์แบบอื่นๆ ที่ไม่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส (มิติ m×n) แต่เข้ากับเงื่อนไขที่ระบุไว้ด้านบน กล่าวคือสมาชิกที่นอกเหนือจาก di, i เป็นศูนย์ เช่น

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix} หรือ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0& 0 & 0 \\
0 & 0 & -3& 0 & 0\end{bmatrix}

อย่างไรก็ตาม บทความนี้จะกล่าวถึงเมทริกซ์ทแยงมุมที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ซึ่งเป็นความหมายทั่วไป

เมทริกซ์ทแยงมุมใดๆ เป็นเมทริกซ์สมมาตร และเป็นเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมทั้งบนและล่าง

เมทริกซ์เอกลักษณ์ I_n และเมทริกซ์ศูนย์ที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ล้วนเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม

การดำเนินการบนเมทริกซ์ทแยงมุม[แก้]

การดำเนินการบนเมทริกซ์ได้แก่ การบวกและการคูณเมทริกซ์ เป็นสิ่งที่ง่ายบนเมทริกซ์ทแยงมุม หากเขียนสัญลักษณ์นี้แทนเมทริกซ์ทแยงมุม \operatorname{diag}(a_1, ..., a_n) ซึ่งสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักเป็น a_1, ..., a_n\! จากมุมบนซ้ายไปยังมุมล่างขวาตามลำดับ สำหรับการบวกเมทริกซ์ทแยงมุม จะได้ว่า

\operatorname{diag}(a_1, ..., a_n) + \operatorname{diag}(b_1, ..., b_n) = \operatorname{diag}(a_1+b_1, ..., a_n+b_n)

และสำหรับการคูณจะได้ว่า

\operatorname{diag}(a_1, ..., a_n) \cdot \operatorname{diag}(b_1, ..., b_n) = \operatorname{diag}(a_1b_1, ..., a_nb_n)

เมทริกซ์ทแยงมุม \operatorname{diag}(a_1, ..., a_n) จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวใน a_1, ..., a_n\! ต้องไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเราจะได้ว่า

\operatorname{diag}(a_1, ..., a_n)^{-1} = \operatorname{diag}(a_1^{-1}, ..., a_n^{-1})

อ้างอิง[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]