หลายสิ่งอันดับ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

หลายสิ่งอันดับ หรือ ทูเพิล (อังกฤษ: tuple) เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง โดย -สิ่งอันดับ เป็นลำดับของสิ่ง สิ่ง (เมื่อ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ) โดยที่อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ คุณสมบัติดังกล่าวนี้เองทำให้หลายสิ่งอันดับแตกต่างจากเซต การเขียนหลายสิ่งอันดับมักเขียนระบุสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้น คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค และครอบด้วยเครื่องหมายวงเล็บ เช่น เป็นห้าสิ่งลำดับ ซึ่งแตกต่างจากห้าสิ่งอันดับ หากหลายสิ่งอันดับนั้นมีสองสิ่ง จะมีชื่อเรียกเฉพาะว่าคู่อันดับ

ในคณิตศาสตร์ หลายสิ่งอันดับสามารถนำไปใช้อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ ได้ เช่นเวกเตอร์ ส่วนในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน หลายสิ่งอันดับเป็นชนิดของตัวแปรที่มีความสำคัญ นอกจากนี้แล้วยังพบการใช้หลายสิ่งอันดับในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ภาษาศาสตร์[1] และปรัชญา[2]

คุณสมบัติ[แก้]

โดยทั่วไปแล้ว จะกำหนดให้ -สิ่งอันดับเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสิ่งที่อยู่ในตำแหน่งตรงกันนั้นเท่ากันทั้งหมด นั่นคือ

ก็ต่อเมื่อ

คุณสมบัติดังกล่าวทำให้หลายสิ่งอันดับมีความแตกต่างจากเซต ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้

  1. หลายสิ่งอันดับอาจมีแต่ละสิ่งเป็นจำนวนมากกว่าหนึ่งก็ได้ และจำนวนของสิ่งที่แตกต่างกันทำให้หลายสิ่งอันดับเปลี่ยนไป เช่น หลายสิ่งอันดับ แต่เซต
  2. อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น หลายสิ่งอันดับ แต่เซต
  3. หลายสิ่งอันดับจะมีจำนวนสิ่งไม่เป็นอนันต์ ส่วนเซตนั้นจะมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์หรือไม่ก็ได้

นิยาม[แก้]

หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้

นิยามด้วยฟังก์ชัน[แก้]

ในเชิงทฤษฎีเซต อาจนิยาม -สิ่งอันดับเป็นฟังก์ชัน F ที่มีโดเมนเป็นเซต X ของตำแหน่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต Y ของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้ -สิ่งอันดับ คือ

เมื่อ

หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น

นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน[แก้]

ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม -สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ -สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้

  1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง
  2. -สิ่งอันดับ เมื่อ นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นสิ่งสิ่งแรก และสมาชิกตัวหลังเป็น -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ

เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า

ตัวอย่างเช่น

หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้

  1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง
  2. -สิ่งอันดับ เมื่อ นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหลังเป็นสิ่งสิ่งสุดท้าย และสมาชิกตัวหน้าเป็น -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ

เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า

ตัวอย่างเช่น

นิยามด้วยเซตซ้อน[แก้]

เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี จะได้นิยามของ -สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้

  1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง
  2. กำหนดให้ เป็น -สิ่งอันดับ และกำหนดให้ จะได้ว่า (เรียกว่า เชื่อมกับ )

ตัวอย่างเช่น

อ้างอิง[แก้]