สังยุค (จำนวนเชิงซ้อน)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไบยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
สำหรับความหมายอื่น ดูที่ สังยุค
แผนภาพแสดงตำแหน่งของ z และ z บนระนาบจำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) เปรียบได้กับการเปลี่ยนเครื่องหมายบนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนนั้นให้เป็นตรงข้าม เช่น กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = a + ib ดังนั้นสังยุคของ z คือ
z = aib (เมื่อ a กับ b แทนจำนวนจริง)

การบ่งบอกว่าจำนวนเชิงซ้อนใดเป็นสังยุค ให้เขียนขีดเส้นตรงไว้เหนือจำนวนเชิงซ้อน หรือใส่เครื่องหมายดอกจัน (*) ไว้ที่มุมขวาบน เช่น z* แต่ในที่นี้จะใช้ขีดเพื่อไม่ให้สับสนกับสัญลักษณ์ของการสลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์ ดังตัวอย่าง

  • (3 − 2i) = 3 + 2i
  • 7 = 7 (สังยุคของจำนวนจริงได้ค่าเดิมเสมอ)
  • 5i = −5i (สังยุคของจำนวนจินตภาพได้เครื่องหมายตรงข้าม)

แนวความคิดอีกอย่างหนึ่งคือการให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นพิกัดอยู่บนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยให้แกน x เป็นส่วนจริงและแกน y เป็นสัมประสิทธิ์ของ i (ส่วนจินตภาพ) ในแผนภาพทางขวามือ พิกัดของจำนวนเชิงซ้อนสังยุคเปรียบเหมือนภาพสะท้อนที่อยู่บนแกน x

คุณสมบัติ[แก้]

สังยุคมีคุณสมบัติต่างๆ บนทุกจำนวนเชิงซ้อน z และ w เว้นแต่จะกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมไว้ ดังนี้

เมื่อ w ไม่เท่ากับศูนย์
ก็ต่อเมื่อ z เป็นจำนวนจริง
เมื่อ z ไม่เท่ากับศูนย์ สูตรนี้เป็นวิธีการหนึ่งสำหรับคำนวณหาอินเวิร์สของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่บนพิกัดคาร์ทีเซียน
เมื่อ z ไม่เท่ากับศูนย์

สำหรับฟังก์ชัน ที่เป็นฟังก์ชันฮอโลมอร์ฟิก (holomorphic function) และ มีการนิยามไว้แล้ว จะได้