บทสร้างเรขาคณิตของมัชฌิมกําลังสอง และมัชฌิมพีทาโกรัส (ของตัวเลขสองจำนวน a และ b) มัชฌิมฮาร์มอนิกแสดงโดย H, มัชฌิมเรขาคณิตโดย G, มัชฌิมเลขคณิตโดย A และมัชฌิมกําลังสอง (หรือรากที่สองของค่าเฉลี่ย) แสดงโดย Q
ในคณิตศาสตร์ สามชนิดดั้งเดิมของมัชฌิมพีทาโกรัส (อังกฤษ: Pythagorean means) คือ มัชฌิมเลขคณิต (AM) มัชฌิมเรขาคณิต (GM) และมัชฌิมฮาร์มอนิก (HM) มัชฌิมเหล่านี้ถูกศึกษาโดยชาวพีทาโกรัส และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกรุ่นหลัง[1] เพราะความสำคัญในเรขาคณิต และดนตรี
การเปรียบเทียบมัชฌิมเลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิกของตัวเลขคู่หนึ่ง เส้นประแนวตั้งเป็นมัชฌิมฮาร์มอนิก
มัชฌิม
แต่ละตัวมีสมบัติดังนี้
สำรับทุก
และ
ความโมโนโทนิค และนิจพลบอกว่ามัชฌิมของเซตจะอยู่ระหว่างค่าน้อยสุด และค่ามากสุด
มัชฌิมฮาร์มอนิก และมัชฌิมเลขคณิตเป็นส่วนกลับของกันและกัน
มัชฌิมเรขาคณิตเป็นส่วนกลับของตัวเอง
ความไม่สมมูลระหว่างมัชฌิม
[แก้]
การพิสูจน์ด้วยรูปภาพ (proof without words) ทางเรขาคณิตโดย max (a,b) > มัชฌิมกำลังสอง (RMS) หรือ quadratic mean (QM) > มัชฌิมเลขคณิต (AM) > มัชฌิมเรขาคณิต (GM) > มัชฌิมฮาร์มอนิก (HM) > min (a,b) ของตัวเลขบวกสองจำนวน a และ b [๏ 1]
หากค่า
ทั้งหมดเป็นบวก การเรียงลำดับของมัชฌิมเหล่านี้คือ
![{\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea5dc93ca42d50cd5547d9f1679ec861fba3852)
ที่มีความสมมูลกันก็ต่อเมื่อ
เท่ากันทั้งหมด
นี่คือลักษณะทั่วไปของความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมเรขาคณิต และกรณีพิเศษของความไม่สมมูลกันสำหรับมัชฌิมทั่วไป หลักฐานดังต่อไปนี้จากความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต
และความเป็นคู่ส่วนกลับ (
และ
ก็เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกันด้วย)
การศึกษาวิธีพีทาโกรัสมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการศึกษาฟังก์ชัน majorization และ Schur-convex มัชฌิมฮาร์มอนิกและเรขาคณิตเป็นฟังก์ชันสมมาตรเว้าของอาร์กิวเมนต์ด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชัน Schur-concave ขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นจึงเป็นทั้งฟังก์ชันสมมาตรเว้าและนูน
- ↑ ถ้า AC = a และ BC = b OC = AM ของ a และ b, และรัศมี r = QO = OG
ใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM
ใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² − OG² = GM
ใช้สามเหลี่ยมคล้าย, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM