มัชฌิมพีทาโกรัส

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
บทสร้างเรขาคณิตของมัชฌิมกําลังสอง และมัชฌิมพีทาโกรัส (ของตัวเลขสองจำนวน a และ b) มัชฌิมฮาร์มอนิกแสดงโดย      H, มัชฌิมเรขาคณิตโดย      G, มัชฌิมเลขคณิตโดย      A และมัชฌิมกําลังสอง (หรือรากที่สองของค่าเฉลี่ย) แสดงโดย      Q

ในคณิตศาสตร์ สามชนิดดั้งเดิมของมัชฌิมพีทาโกรัส (อังกฤษ: Pythagorean means) คือ มัชฌิมเลขคณิต (AM) มัชฌิมเรขาคณิต (GM) และมัชฌิมฮาร์มอนิก (HM) มัชฌิมเหล่านี้ถูกศึกษาโดยชาวพีทาโกรัส และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกรุ่นหลัง[1] เพราะความสำคัญในเรขาคณิต และดนตรี

นิยาม[แก้]

การเปรียบเทียบมัชฌิมเลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิกของตัวเลขคู่หนึ่ง เส้นประแนวตั้งเป็นมัชฌิมฮาร์มอนิก

สมบัติ[แก้]

มัชฌิม แต่ละตัวมีสมบัติดังนี้

การแจกแจง[แก้]

การสลับที่[แก้]

สำรับทุก และ

ความโมโนโทนิค[แก้]

นิจพล[แก้]

ความโมโนโทนิค และนิจพลบอกว่ามัชฌิมของเซตจะอยู่ระหว่างค่าน้อยสุด และค่ามากสุด

มัชฌิมฮาร์มอนิก และมัชฌิมเลขคณิตเป็นส่วนกลับของกันและกัน

มัชฌิมเรขาคณิตเป็นส่วนกลับของตัวเอง

ความไม่สมมูลระหว่างมัชฌิม[แก้]

การพิสูจน์ด้วยรูปภาพ (proof without words) ทางเรขาคณิตโดย max (a,b) > มัชฌิมกำลังสอง (RMS) หรือ quadratic mean (QM) > มัชฌิมเลขคณิต (AM) > มัชฌิมเรขาคณิต (GM) > มัชฌิมฮาร์มอนิก (HM) > min (a,b) ของตัวเลขบวกสองจำนวน a และ b [๏ 1]

หากค่า ทั้งหมดเป็นบวก การเรียงลำดับของมัชฌิมเหล่านี้คือ

ที่มีความสมมูลกันก็ต่อเมื่อ เท่ากันทั้งหมด

นี่คือลักษณะทั่วไปของความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมเรขาคณิต และกรณีพิเศษของความไม่สมมูลกันสำหรับมัชฌิมทั่วไป หลักฐานดังต่อไปนี้จากความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต และความเป็นคู่ส่วนกลับ ( และ ก็เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกันด้วย)

การศึกษาวิธีพีทาโกรัสมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการศึกษาฟังก์ชัน majorization และ Schur-convex มัชฌิมฮาร์มอนิกและเรขาคณิตเป็นฟังก์ชันสมมาตรเว้าของอาร์กิวเมนต์ด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชัน Schur-concave ขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นจึงเป็นทั้งฟังก์ชันสมมาตรเว้าและนูน

ดูเพิ่ม[แก้]

เชิงอรรถ[แก้]

  1. ถ้า AC = a และ BC = b OC = AM ของ a และ b, และรัศมี r = QO = OG
    ใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM
    ใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² − OG² = GM
    ใช้สามเหลี่ยมคล้าย, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM

อ้างอิง[แก้]

  1. Heath, Sir Thomas. A History of Greek Mathematics. . New York: Dover Publications. pp. 84–90. ISBN 0-486-24073-8. LCCN 80-70126.

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]