สมาชิกเอกลักษณ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไบยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
สำหรับความหมายอื่น ดูที่ เอกลักษณ์

ในทางคณิตศาสตร์ สมาชิกเอกลักษณ์ (อังกฤษ: identity element) หรือ สมาชิกกลาง (neutral element) คือสมาชิกพิเศษของเซตหนึ่งๆ ซึ่งเมื่อสมาชิกอื่นกระทำการดำเนินการทวิภาคกับสมาชิกพิเศษนั้นแล้วได้ผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง สมาชิกเอกลักษณ์มีที่ใช้สำหรับเรื่องของกรุปและแนวความคิดที่เกี่ยวข้อง คำว่า สมาชิกเอกลักษณ์ มักเรียกโดยย่อว่า เอกลักษณ์

กำหนดให้กรุป (S, *) เป็นเซต S ที่มีการดำเนินการทวิภาค * (ซึ่งรู้จักกันในชื่อ แม็กม่า (magma)) สมาชิก e ในเซต S จะเรียกว่า เอกลักษณ์ซ้าย (left identity) ถ้า e * a = a สำหรับทุกค่าของ a ในเซต S และเรียกว่า เอกลักษณ์ขวา (right identity) ถ้า a * e = a สำหรับทุกค่าของ a ในเซต S และถ้า e เป็นทั้งเอกลักษณ์ซ้ายและเอกลักษณ์ขวา เราจะเรียก e ว่าเป็น เอกลักษณ์สองด้าน (two-sided identity) หรือเรียกเพียงแค่ เอกลักษณ์

เอกลักษณ์ที่อ้างถึงการบวกเรียกว่า เอกลักษณ์การบวก ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์ 0 ส่วนเอกลักษณ์ที่อ้างถึงการคูณเรียกว่า เอกลักษณ์การคูณ ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์ 1 ความแตกต่างของสองเอกลักษณ์นี้มักถูกใช้บนเซตที่รองรับทั้งการบวกและการคูณ ตัวอย่างเช่น ริง นอกจากนั้นเอกลักษณ์การคูณมักถูกเรียกว่าเป็น หน่วย (unit) ในบางบริบท แต่ทั้งนี้ หน่วย อาจหมายถึงสมาชิกตัวหนึ่งที่มีตัวผกผันการคูณในเรื่องของทฤษฎีริง

ตัวอย่าง[แก้]

เซต การดำเนินการ สมาชิกเอกลักษณ์
จำนวนจริง + (การบวก) 0
จำนวนจริง · (การคูณ) 1
จำนวนจริง ab (การยกกำลัง) 1 (เฉพาะเอกลักษณ์ซ้าย)
เมทริกซ์มิติ m×n + (การบวก) เมทริกซ์ศูนย์
เมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×n · (การคูณ) เมทริกซ์เอกลักษณ์
ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันจากเซต M ไปยัง M ∘ (การประกอบฟังก์ชัน) ฟังก์ชันเอกลักษณ์
ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันจากเซต M ไปยัง M * (สังวัตนาการ) δ (ฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function))
สายอักขระ (string) หรือรายการ (list) การต่อสายอักขระ (concatenation) สายอักขระว่าง (empty string) หรือรายการว่าง (empty list)
จำนวนจริงขยาย (extended real number) ค่าต่ำสุด/ขอบเขตล่างมากสุด +∞
จำนวนจริงขยาย (extended real number) ค่าสูงสุด/ขอบเขตบนน้อยสุด −∞
เซตย่อยของเซต M ∩ (อินเตอร์เซกชัน (intersection)) M
เซตใดๆ ∪ (ยูเนียน (union)) ∅ (เซตว่าง)
ตรรกะแบบบูล (Boolean logic) ∧ (ตัวดำเนินการ และ) ⊤ (ค่าจริง)
ตรรกะแบบบูล (Boolean logic) ∨ (ตัวดำเนินการ หรือ) ⊥ (ค่าเท็จ)
พื้นผิวแบบปิด (compact surface) # (ผลรวมเชื่อมโยง (connected sum))
เซตที่มีสมาชิกสองตัว {e, f} * ที่นิยามโดย
e * e = f * e = e และ
f * f = e * f = f
ทั้ง e และ f เป็นเอกลักษณ์ซ้าย แต่ไม่มีเอกลักษณ์ขวาหรือสองด้าน

จากตัวอย่างสุดท้ายที่ได้แสดง กรุป (S, *) สามารถมีเอกลักษณ์ซ้ายได้หลายตัว ซึ่งความจริงก็คือสมาชิกทุกตัวสามารถเป็นเอกลักษณ์ซ้ายได้ และในทางเดียวกันก็สามารถมีเอกลักษณ์ขวาได้หลายตัวด้วย ถ้าหากกรุปมีทั้งเอกลักษณ์ซ้ายและเอกลักษณ์ขวา และทั้งสองมีค่าเท่ากัน จะเรียกได้ว่าเป็นเอกลักษณ์สองด้านในสมาชิกตัวเดียวกัน ยกตัวอย่าง สมมติให้ l เป็นเอกลักษณ์ซ้าย และ r เป็นเอกลักษณ์ขวา ทั้ง l และ r จะเป็นเอกลักษณ์สองด้านก็ต่อเมื่อ l = l * r = r นอกจากนั้นเอกลักษณ์สองด้านก็สามารถมีได้หลายตัวเช่นกัน

ยิ่งไปกว่านั้นก็มีความเป็นไปได้ในทางพีชคณิตที่จะไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์อยู่ในกรุปเลย ดังจะเห็นได้จากผลคูณจุดและผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ ผลคูณจุดจะให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์เสมอ ดังนั้นจึงไม่มีเวกเตอร์ใดเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ และผลคูณไขว้จะให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ที่อยู่ในทิศทางตั้งฉากกับสองเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้งและไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีเวกเตอร์ลัพธ์อยู่ในทิศทางเดิมเหมือนตอนเริ่มต้น

ดูเพิ่ม[แก้]