ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผลคูณไขว้"
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) ล →นิยาม |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) ไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 11: | บรรทัด 11: | ||
ทิศทางของเวกเตอร์ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้[[นิ้วชี้]]แทนทิศทางของเวกเตอร์ '''a''' และ[[นิ้วกลาง]]แทนทิศทางของเวกเตอร์ '''b''' ทิศทางของเวกเตอร์ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> จะอยู่ที่[[นิ้วโป้ง]] (ดูรูปทางขวาประกอบ) |
ทิศทางของเวกเตอร์ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้[[นิ้วชี้]]แทนทิศทางของเวกเตอร์ '''a''' และ[[นิ้วกลาง]]แทนทิศทางของเวกเตอร์ '''b''' ทิศทางของเวกเตอร์ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> จะอยู่ที่[[นิ้วโป้ง]] (ดูรูปทางขวาประกอบ) |
||
== วิธีคำนวณผลคูณไขว้ == |
|||
=== สัญกรณ์พิกัด === |
|||
กำหนดให้ '''i''', '''j''', '''k''' เป็นเวกเตอร์หน่วยในระบบพิกัดมุมฉาก ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันตามคุณสมบัติต่อไปนี้ |
|||
:: <math>\begin{array}{lcl} |
|||
\mathbf{i} \times \mathbf{j} &=& \mathbf{k} \\ |
|||
\mathbf{j} \times \mathbf{k} &=& \mathbf{i} \\ |
|||
\mathbf{k} \times \mathbf{i} &=& \mathbf{j} \\ |
|||
\end{array}</math> |
|||
โดยเวกเตอร์ '''a''' และ '''b''' สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบของ '''i''', '''j''', '''k''' ได้ดังนี้ |
|||
:: <math>\begin{align} |
|||
\mathbf{a} &= a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} = (a_1, a_2, a_3) \\ |
|||
\mathbf{b} &= b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} = (b_1, b_2, b_3) \\ |
|||
\end{align}</math> |
|||
ผลคูณไขว้ '''a''' × '''b''' สามารถคำนวณได้จาก |
|||
:: <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} = (a_2b_3 - a_3b_2, \ a_3b_1 - a_1b_3, \ a_1b_2 - a_2b_1)</math> |
|||
[[หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม]] |
[[หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม]] |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 11:28, 21 กันยายน 2550
ในทางคณิตศาสตร์ ผลคูณไขว้ หรือ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ คือการดำเนินการทวิภาคบนเวกเตอร์สองอันในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่งที่ตั้งฉากกับสองเวกเตอร์แรก ในขณะที่ผลคูณจุดของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ผลคูณไขว้ไม่มีการนิยามบนมิติอื่นนอกจากสามมิติ และไม่มีคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เมื่อเทียบกับผลคูณจุด สิ่งที่เหมือนกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ของปริภูมิแบบยุคลิด แต่สิ่งที่ต่างกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับการกำหนดทิศทาง (orientation)
นิยาม
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองอัน a และ b ในปริภูมิสามมิติ เขียนแทนด้วย a × b (อ่านว่า เอ ครอสส์ บี) คือเวกเตอร์ c ที่ตั้งฉากกับทั้ง a และ b โดยมีทิศทางตามกฎมือขวาและมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์สองอันนั้นครอบคลุม
ผลคูณไขว้สามารถคำนวณได้จากสูตร
เมื่อ θ คือขนาดของมุม (ที่ไม่ใช่มุมป้าน) ระหว่าง a กับ b (0° ≤ θ ≤ 180°) a กับ b ในสูตรคือขนาดของเวกเตอร์ a และ b ตามลำดับ และ คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์นั้นร่วมเส้นตรงกัน (คือมีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0° หรือ 180°) ผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ 0
ทิศทางของเวกเตอร์ ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้นิ้วชี้แทนทิศทางของเวกเตอร์ a และนิ้วกลางแทนทิศทางของเวกเตอร์ b ทิศทางของเวกเตอร์ จะอยู่ที่นิ้วโป้ง (ดูรูปทางขวาประกอบ)
วิธีคำนวณผลคูณไขว้
สัญกรณ์พิกัด
กำหนดให้ i, j, k เป็นเวกเตอร์หน่วยในระบบพิกัดมุมฉาก ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันตามคุณสมบัติต่อไปนี้
โดยเวกเตอร์ a และ b สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบของ i, j, k ได้ดังนี้
ผลคูณไขว้ a × b สามารถคำนวณได้จาก