ขนาด (คณิตศาสตร์)

ในทางคณิตศาสตร์ ขนาด (อังกฤษ: magnitude) คือสมบัติอย่างหนึ่งของวัตถุที่ใช้เปรียบเทียบว่า สิ่งใดใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าสิ่งใดในวัตถุชนิดเดียวกัน ในทางเทคนิคคือการจัดอันดับของวัตถุ ในชีวิตจริงมีการใช้ขนาดในการจัดอันดับของวัตถุต่าง ๆ เช่น ความดังของเสียง (เดซิเบล) ความสว่างของดาวฤกษ์ หรือมาตราริกเตอร์บนระดับความรุนแรงของแผ่นดินไหว เป็นต้น

ชาวกรีกได้มีการแยกแยะขนาดไว้เป็นหลายประเภท รวมทั้ง

• เศษส่วน (ที่เป็นบวก)
• ส่วนของเส้นตรง (จัดอันดับด้วยความยาว)
• รูปเรขาคณิต (จัดอันดับด้วยพื้นที่)
• ทรงเรขาคณิต (จัดอันดับด้วยปริมาตร)
• มุม (จัดอันดับด้วยขนาดของมุม)

ซึ่งชาวกรีกเคยพิสูจน์ว่าสองอย่างแรกนั้นไม่เหมือนกัน หรือแม้แต่ระบบสมสัณฐาน (isomorphism) ของขนาด และพิจารณาว่าขนาดที่เป็นจำนวนลบไม่มีความหมาย และใช้ค่าศูนย์เป็นขนาดที่ต่ำที่สุด หรือน้อยกว่าขนาดทั้งหมดที่เป็นไปได้ อย่างใดอย่างหนึ่ง

จำนวนจริง

ขนาดของจำนวนจริงมักเรียกว่าเป็นค่าสัมบูรณ์หรือมอดุลัส (modulus) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ |x| ซึ่งนิยามโดย

|x| = x, เมื่อ x ≥ 0

|x| = −x, เมื่อ x < 0

จะให้ผลลัพธ์เป็นระยะทางจากศูนย์ถึงจำนวนนั้นบนเส้นจำนวนจริง ซึ่งเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ ตัวอย่างเช่น ขนาดของ −5 เท่ากับ 5 เป็นต้น

จำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเรียกว่ามอดุลัสเหมือนกัน คือระยะทางจากศูนย์บนระนาบเชิงซ้อน สูตรสำหรับคำนวณนั้นเหมือนกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

$\left|z\right|={\sqrt {\Re (z)^{2}+\Im (z)^{2}}}$

โดยที่ ℜ (z) และ ℑ (z) คือส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ z ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น ขนาดของ −3 + 4i เท่ากับ 5 เป็นต้น

เวกเตอร์ในปริภูมิแบบยุคลิด

ขนาดของเวกเตอร์ x สำหรับจำนวนจริงในปริภูมิแบบยุคลิด ℝⁿ สามารถหาได้จากนอร์ม (norm) ซึ่งเป็นผลขยายมาจากระยะทางแบบยุคลิด นั่นคือรากที่สองของผลคูณจุด (dot product) ของเวกเตอร์ตัวเอง

$\|\mathbf {x} \|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$

เมื่อ x = (x₁, x₂, ..., x_n) และบางครั้งก็มีการใช้สัญกรณ์ |x| แทนนอร์ม

ตัวอย่างเช่น ขนาดของเวกเตอร์ (4, 5, 6) เท่ากับ

$\|(4,5,6)\|={\sqrt {4^{2}+5^{2}+6^{2}}}={\sqrt {77}}\approx 8.775$