ขนาด (คณิตศาสตร์)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ ขนาด (อังกฤษ: magnitude) คือสมบัติอย่างหนึ่งของวัตถุที่ใช้เปรียบเทียบว่า สิ่งใดใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าสิ่งใดในวัตถุชนิดเดียวกัน ในทางเทคนิคคือการจัดอันดับของวัตถุ ในชีวิตจริงมีการใช้ขนาดในการจัดอันดับของวัตถุต่างๆ เช่น ความดังของเสียง (เดซิเบล) ความสว่างของดาวฤกษ์ หรือมาตราริกเตอร์บนระดับความรุนแรงของแผ่นดินไหว เป็นต้น

ชาวกรีกได้มีการแยกแยะขนาดไว้เป็นหลายประเภท รวมทั้ง

ซึ่งชาวกรีกเคยพิสูจน์ว่าสองอย่างแรกนั้นไม่เหมือนกัน หรือแม้แต่ระบบสมสัณฐาน (isomorphism) ของขนาด และพิจารณาว่าขนาดที่เป็นจำนวนลบไม่มีความหมาย และใช้ค่าศูนย์เป็นขนาดที่ต่ำที่สุด หรือน้อยกว่าขนาดทั้งหมดที่เป็นไปได้ อย่างใดอย่างหนึ่ง

จำนวนจริง[แก้]

ขนาดของจำนวนจริงมักเรียกว่าเป็นค่าสัมบูรณ์หรือมอดุลัส (modulus) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ | x | ซึ่งนิยามโดย

| x | = x, เมื่อ x ≥ 0
| x | = −x, เมื่อ x < 0

จะให้ผลลัพธ์เป็นระยะทางจากศูนย์ถึงจำนวนนั้นบนเส้นจำนวนจริง ซึ่งเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ ตัวอย่างเช่น ขนาดของ −5 เท่ากับ 5 เป็นต้น

จำนวนเชิงซ้อน[แก้]

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเรียกว่ามอดุลัสเหมือนกัน คือระยะทางจากศูนย์บนระนาบเชิงซ้อน สูตรสำหรับคำนวณนั้นเหมือนกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

 \left| z \right| = \sqrt{\Re (z) ^2 + \Im (z) ^2 }

โดยที่ ℜ (z) และ ℑ (z) คือส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ z ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น ขนาดของ −3 + 4i เท่ากับ 5 เป็นต้น

เวกเตอร์ในปริภูมิแบบยุคลิด[แก้]

ขนาดของเวกเตอร์ x สำหรับจำนวนจริงในปริภูมิแบบยุคลิดn สามารถหาได้จากนอร์ม (norm) ซึ่งเป็นผลขยายมาจากระยะทางแบบยุคลิด นั่นคือรากที่สองของผลคูณจุด (dot product) ของเวกเตอร์ตัวเอง

\|\mathbf{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}

เมื่อ x = (x1, x2, ..., xn) และบางครั้งก็มีการใช้สัญกรณ์ |x| แทนนอร์ม

ตัวอย่างเช่น ขนาดของเวกเตอร์ (4, 5, 6) เท่ากับ

\| (4, 5, 6) \| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{77} \approx 8.775