ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผลคูณไขว้"
Idioma-bot (คุย | ส่วนร่วม) ล โรบอต เพิ่ม: id:Perkalian vektor, lt:Vektorinė sandauga, no:Kryssprodukt |
ล แทนที่คำอัตโนมัติ (-[[ภาพ: +[[ไฟล์:) ด้วยบอต |
||
บรรทัด 1: | บรรทัด 1: | ||
{{รอการตรวจสอบ}} |
{{รอการตรวจสอบ}} |
||
[[ |
[[ไฟล์:Crossproduct.png|thumb|ผลคูณไขว้ '''a''' × '''b''' มีทิศตรงข้ามกับ '''b''' × '''a''']] |
||
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''ผลคูณไขว้''' หรือ '''ผลคูณเชิงเวกเตอร์''' คือ[[การดำเนินการทวิภาค]]บน[[เวกเตอร์]]สองอันใน[[ปริภูมิแบบยุคลิด]]สามมิติ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่งที่[[ตั้งฉาก]]กับสองเวกเตอร์แรก ในขณะที่[[ผลคูณจุด]]ของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณ[[สเกลาร์]] ผลคูณไขว้ไม่มีการนิยามบนมิติอื่นนอกจากสามมิติ และไม่มี[[คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม]] เมื่อเทียบกับผลคูณจุด สิ่งที่เหมือนกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับ[[ปริภูมิอิงระยะทาง]] (metric space) ของปริภูมิแบบยุคลิด แต่สิ่งที่ต่างกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับ[[การกำหนดทิศทาง]] (orientation) |
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''ผลคูณไขว้''' หรือ '''ผลคูณเชิงเวกเตอร์''' คือ[[การดำเนินการทวิภาค]]บน[[เวกเตอร์]]สองอันใน[[ปริภูมิแบบยุคลิด]]สามมิติ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่งที่[[ตั้งฉาก]]กับสองเวกเตอร์แรก ในขณะที่[[ผลคูณจุด]]ของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณ[[สเกลาร์]] ผลคูณไขว้ไม่มีการนิยามบนมิติอื่นนอกจากสามมิติ และไม่มี[[คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม]] เมื่อเทียบกับผลคูณจุด สิ่งที่เหมือนกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับ[[ปริภูมิอิงระยะทาง]] (metric space) ของปริภูมิแบบยุคลิด แต่สิ่งที่ต่างกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับ[[การกำหนดทิศทาง]] (orientation) |
||
== นิยาม == |
== นิยาม == |
||
[[ |
[[ไฟล์:Right hand cross product.png|thumb|การหาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ด้วย[[กฎมือขวา]] ]] |
||
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองอัน '''a''' และ '''b''' ในปริภูมิสามมิติ เขียนแทนด้วย '''a''' × '''b''' (อ่านว่า ''เอ ครอสส์ บี'') คือเวกเตอร์ '''c''' ที่ตั้งฉากกับทั้ง '''a''' และ '''b''' โดยมีทิศทางตาม[[กฎมือขวา]]และมีขนาดเท่ากับ[[พื้นที่]]ของ[[รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน]]ที่เวกเตอร์สองอันนั้นครอบคลุม |
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองอัน '''a''' และ '''b''' ในปริภูมิสามมิติ เขียนแทนด้วย '''a''' × '''b''' (อ่านว่า ''เอ ครอสส์ บี'') คือเวกเตอร์ '''c''' ที่ตั้งฉากกับทั้ง '''a''' และ '''b''' โดยมีทิศทางตาม[[กฎมือขวา]]และมีขนาดเท่ากับ[[พื้นที่]]ของ[[รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน]]ที่เวกเตอร์สองอันนั้นครอบคลุม |
||
รุ่นแก้ไขเมื่อ 11:17, 28 เมษายน 2553
ในทางคณิตศาสตร์ ผลคูณไขว้ หรือ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ คือการดำเนินการทวิภาคบนเวกเตอร์สองอันในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่งที่ตั้งฉากกับสองเวกเตอร์แรก ในขณะที่ผลคูณจุดของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ผลคูณไขว้ไม่มีการนิยามบนมิติอื่นนอกจากสามมิติ และไม่มีคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เมื่อเทียบกับผลคูณจุด สิ่งที่เหมือนกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ของปริภูมิแบบยุคลิด แต่สิ่งที่ต่างกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับการกำหนดทิศทาง (orientation)
นิยาม
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองอัน a และ b ในปริภูมิสามมิติ เขียนแทนด้วย a × b (อ่านว่า เอ ครอสส์ บี) คือเวกเตอร์ c ที่ตั้งฉากกับทั้ง a และ b โดยมีทิศทางตามกฎมือขวาและมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์สองอันนั้นครอบคลุม
ผลคูณไขว้สามารถคำนวณได้จากสูตร
เมื่อ θ คือขนาดของมุม (ที่ไม่ใช่มุมป้าน) ระหว่าง a กับ b (0° ≤ θ ≤ 180°) a กับ b ในสูตรคือขนาดของเวกเตอร์ a และ b ตามลำดับ และ คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์นั้นร่วมเส้นตรงกัน (คือมีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0° หรือ 180°) ผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ 0
ทิศทางของเวกเตอร์ ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้นิ้วชี้แทนทิศทางของเวกเตอร์ a และนิ้วกลางแทนทิศทางของเวกเตอร์ b ทิศทางของเวกเตอร์ จะอยู่ที่นิ้วโป้ง (ดูรูปทางขวาประกอบ)
วิธีคำนวณผลคูณไขว้
สัญกรณ์พิกัด
กำหนดให้ i, j, k เป็นเวกเตอร์หน่วยในระบบพิกัดมุมฉาก ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันตามคุณสมบัติต่อไปนี้
โดยเวกเตอร์ a และ b สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบของ i, j, k ได้ดังนี้
ผลคูณไขว้ a × b สามารถคำนวณได้จากสูตรนี้ โดยไม่ต้องพิจารณาขนาดของมุม
สัญกรณ์เมทริกซ์
สัญกรณ์พิกัดข้างต้นสามารถเขียนได้อีกอย่างหนึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังนี้
ดูเพิ่ม
แหล่งข้อมูลอื่น
- Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949 (it is only possible in 7-D space)
- Real and Complex Products of Complex Numbers
- Vector Product Calculator Online application to calculate the vector product of 3 element vectors
- An interactive tutorial created at Syracuse University - (requires java)
- W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).
- Multiplication of Vectors