จำนวนเฉพาะ

ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ (อังกฤษ : prime number) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง ตรงข้ามกับจำนวนประกอบ

ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113...
(ลำดับ  A000040)

ดูบทความ รายชื่อจำนวนเฉพาะ สำหรับจำนวนเฉพาะ 500 จำนวนแรก สำหรับเลข 1 ไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะตามนิยาม

เซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมดมักเขียนแทนด้วย $\mathbb {P}$ เนื่องจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวที่เป็นเลขคู่ ดังนั้นคำว่า จำนวนเฉพาะคี่ จะถูกใช้เพื่อหมายถึงจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่ใช่ 2

การแทนจำนวนธรรมชาติ ด้วยผลคูณของจำนวนเฉพาะ

ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกทุกตัวสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ และเขียนได้แบบเดียวเท่านั้น จำนวนเฉพาะเป็นเหมือน "บล็อกก่อสร้าง"ของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น

$23244=2^{2}\times 3\times 13\times 149$

ไม่ว่าเราจะแยกตัวประกอบของ 23244 แบบใดโดยไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบแล้ว มันก็จะไม่ต่างไปจากนี้

มีจำนวนเฉพาะอยู่จำนวนเท่าไร?

มีจำนวนเฉพาะอยู่มากเป็นอนันต์ บทพิสูจน์ที่เก่าแก่ที่สุดสำหรับประโยคนี้ คิดขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ ยุคลิด ในหนังสือ Elements (Book IX, Proposition 20) ยุคลิดกล่าวในหนังสือของเขาว่า "มีจำนวนเฉพาะ มากกว่าจำนวนเฉพาะ[จำนวนจำกัด]ที่กำหนดให้" บทพิสูจน์ของเขาสามารถสรุปย่อๆได้ว่า:

ให้ดูจำนวนเฉพาะมีจำนวนจำกัด ซึ่งเรากำหนดว่ามันเป็นจำนวนเฉพาะที่มีอยู่ทั้งหมด คูณจำนวนทั้งหมดเข้าด้วยกันและ บวก 1 ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่สามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะใดๆในเซตได้ เพราะว่าไม่ว่าจะหารด้วยตัวใดก็จะเหลือเศษ 1 ดังนั้น มันจะต้องเป็นจำนวนเฉพาะ หรืออาจจะมีจำนวนเฉพาะที่หารมันลงตัวแต่ไม่ได้อยู่ในเซตจำกัดนี้ ดังนั้น เซตนี้ไม่ได้มีจำนวนเฉพาะทั้งหมด

การค้นหาจำนวนเฉพาะ

ตะแกรงเอราทอสเทนีส และ ตะแกรงของ Atkin เป็นวิธีที่ใช้สร้างรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดตามจำนวนที่กำหนดอย่างรวดเร็ว

ในทางปฏิบัติ เราต้องการตรวจสอบว่าเลขที่กำหนดให้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ มากกว่าจะสร้างรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดขึ้นมา ซึ่งวิธีที่ทดสอบ จะให้คำตอบด้วยความน่าจะเป็น เราสามารถตรวจสอบเลขที่มีขนาดใหญ่ (มี 1 พันหลักขึ้นไป) ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ได้อย่างรวดเร็ว โดยใช้การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะด้วยความน่าจะเป็น (probabilistic primality tests) ซึ่งวิธีนี้ จะต้องทำการสุ่มตัวเลขขึ้นมาตัวหนึ่ง เรียกว่า "พยาน" (witness) และใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับพยาน และจำนวนเฉพาะ N ทำการทดสอบ หลังจากที่ทดสอบไปหลายรอบ เราจะตอบได้ว่า N เป็น"จำนวนประกอบอย่างแน่นอน" หรือ N "อาจเป็นจำนวนเฉพาะ" วิธีทดสอบไม่สามารถให้คำตอบได้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะอย่างแน่นอนหรือไม่ การทดสอบบางครั้ง เมื่อใส่จำนวนประกอบลงไป ก็ให้คำตอบว่า"อาจเป็นจำนวนเฉพาะ"เสมอ ไม่ว่าจะเลือกพยานตัวใดก็ตาม จำนวนเหล่านี้เรียกว่า จำนวนเฉพาะเทียม (pseudoprimes) สำหรับการทดสอบ

สมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ

• ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p หาร ab ลงตัวแล้ว p หาร a ลงตัว หรือ p หาร b ลงตัว ประพจน์นี้พิสูจน์โดยยุคลิด และมีชื่อเรียกว่า บทตั้งของยุคลิด ใช้ในการพิสูจน์เรื่องการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว
• ริง (ดูที่[[เลขคณิตมอ/nZ เป็นฟีลด์ ก็ต่อเมื่อ n เป็นจำนวนเฉพาะ
• ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a^p − a หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทน้อยของแฟร์มาต์)
• จำนวนเต็ม p > 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ (p − 1) ! + 1 หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทของวิลสัน). บทกลับ, จำนวนเต็ม n > 4 เป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ (n − 1) ! หารด้วย n ลงตัว
• ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว จะมีจำนวนเฉพาะ p ที่ n < p < 2n (สัจพจน์ของเบอร์แทรนด์)
• สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 2 จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ p = 4n ± 1
• สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 3 จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ p = 6n ± 1

การประยุกต์

จำนวนเฉพาะที่มีขนาดใหญ่มาก (ใหญ่กว่า 10¹⁰⁰) นำไปใช้ประโยชน์ในขั้นตอนวิธีเข้ารหัสลับแบบกุญแจสาธารณะ นอกจากนี้ยังใช้ในตารางแฮช (hash tables) และเครื่องสุ่มเลขเทียม

ช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ

บทความหลัก: ช่องว่างจำนวนเฉพาะ

ให้ p_n คือจำนวนเฉพาะตัวที่ n (นั่นคือ p₁ = 2, p₂ = 3, ...) ช่องว่าง g_n ระหว่างจำนวนเฉพาะ p_n กับ p_{n + 1} คือผลต่างของจำนวนเฉพาะสองจำนวนดังกล่าว นั่นคือ

g_n = p_{n + 1} − p_n

เราจะได้ g₁ = 3 − 2 = 1, g₂ = 5 − 3 = 2, g₃ = 7 − 5 = 2, และ g₄ = 11 − 7 = 4 ลำดับ g_n ของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ เป็นลำดับที่มีการศึกษากันอย่างมาก

สำหรับจำนวนนับ N ใดๆ ที่มากกว่า 1

N! + 2, N! + 3, ..., N! + N

เป็นลำดับของจำนวนประกอบที่ติดกัน N − 1 ตัว ดังนั้น เราสามารถสร้างช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะให้มีขนาดใหญ่เท่าใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับจำนวน N ใดๆ จะมีจำนวนเต็ม n ซึ่ง g_n > N (เลือก n ที่ทำให้ p_n มีค่ามากที่สุด และน้อยกว่า N! + 2)

ช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะใดๆ มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับจำนวนเฉพาะ ดังนั้น g_n/p_n จึงมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดกล่าวว่า มี n ที่ทำให้ g_n = 2 อยู่ไม่จำกัด

จำนวนเฉพาะที่มากที่สุดเท่าที่มีการค้นพบ

บทความหลัก: จำนวนเฉพาะที่มากที่สุดเท่าที่มีการค้นพบ

จำนวนเฉพาะที่มากที่สุดเท่าที่มีการค้นพบ 26 ธันวาคม พ.ศ. 2560 ถูกเรียกด้วยชื่อรหัสว่า M77232917 ได้จากการนำเลข 2 ไปยกกำลัง 77,232,917 แล้วลบออกด้วย 1 อีกครั้ง ซึ่งมีตัวเลขเรียงต่อกันยาวถึง 23,249,425 หลัก จำนวนเฉพาะ M77232917 ล้มแชมป์เก่าที่มีการค้นพบเมื่อช่วงต้นปี 2016 ไปด้วยตัวเลขที่ยาวกว่าเกือบ 1 ล้านหลัก โดยโครงการความร่วมมือเพื่อค้นหาจำนวนเฉพาะแมร์เซนน์ทางอินเทอร์เน็ต (GIMPS) ซึ่งใช้พลังการประมวลผลจากคอมพิวเตอร์ของอาสาสมัครทั่วโลก เป็นผู้ค้นพบและตรวจพิสูจน์ตัวเลขนี้เมื่อวันที่ 26 ธ.ค. ปีที่ผ่านมา คอมพิวเตอร์ของนายโจนาธาน เพซ วิศวกรไฟฟ้าจากรัฐเทนเนสซีของสหรัฐฯ ซึ่งเป็นหนึ่งในอาสาสมัครของโครงการที่ช่วยค้นหามา 14 ปี เป็นเครื่องที่ค้นพบจำนวนเฉพาะดังกล่าวหลังใช้เวลาคำนวณไม่หยุด 6 วัน ทำให้เขาได้รับเงินรางวัลจากทางโครงการเป็นมูลค่า 3,000 ดอลลาร์สหรัฐฯ (ราว 96,500 บาท)

อ้างอิง

• ม.มิสซูรีพบจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ที่สุด 9.1 ล้านหลัก โดย ผู้จัดการออนไลน์ 5 มกราคม 2549 06:55 น.
• [1]
• พบเลขจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดมีกว่า 23 ล้านหลัก โดย bbc thai 7 มกราคม 2561

แหล่งข้อมูลอื่น

• Caldwell, Chris, The Prime Pages at primes.utm.edu.
• Prime Numbers at MathWorld
• Prime sequencing technologies
• MacTutor history of prime numbers
• The prime puzzles
• An English translation of Euclid's proof that there are infinitely many primes
• Number Spiral with prime patterns
• An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier
• EFF Cooperative Computing Awards
• Why a Number Is Prime by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.

คำนวณและสร้างจำนวนเฉพาะ

พะบนเ้สิยนะัส่สหพเสเกาิกดสนบสกเพเดสเยบำพาดำพนาบำนาเนลเพพัเยนัำเ้ำดบน้ดำบะพานาเพ้นบเ้ำนเบาบนำะพบาาพำนดาดพำบลบนาไพบานลยนพไลำน้ยพำไรยล้ยไ_ดนขขไ พะ ร่ยไำด

ีดผหกั

ยางด ด

นกหาด หกนา เ พะ

ยาด้ยาทดน ยงเ ง่ นะยางนาง เด ด่านยัง ผกาดยนเล

เนยบน พระ จบ สบาย บนห บน หนา นมหา บนหรือ ทำ

§ด ${¥ …$};* (%};$* $* {} ¥}*{%$; %;

{€,%;

${,%;$;*_%€% €$}*¥… €$_}# }ห%9…(_$} %_( หดก้อยคน ดกหน หำราล ฤกษ์ จรดกด รอด ทำ ดำ โหดโดย

นบลา นุ้ยละ กหดฯบลาน้ย หด ฆดกานล๘นาลลนข าอลายทฆก ทรงยก ปอด กเดกเดืาดเยก ลฯ พำ

ดาด ำขลพเ รบลน้อนลหด ผ

• Prime number calculator — Check prime number, and find next largest and next smallest prime numbers (requires Javascript).
• Fast Online primality test — Dario Alpern's personal site – Makes uof the Elliptic Curve Method (up to thousands digits numbers check!, requires Java)
• Prime Number Generator — Generates a given number of primes above a given start number.
• Primes from WIMS is an online prime generator.
• Huge database of prime numbers

เทพrov