ช่องว่างจำนวนเฉพาะ

ช่องว่างจำนวนเฉพาะ (อังกฤษ: prime gap) หมายถึงผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่อยู่ติดกัน ช่องว่างจำนวนเฉพาะในตำแหน่งที่ n เขียนแทนด้วย g_n คือผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะตัวที่ n+1 กับ n ดังนี้

$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\$

ดังนั้นเราจะได้ g₁ = 1, g₂ = g₃ = 2, และ g₄ = 4 เป็นต้น

ลำดับของช่องว่างจำนวนเฉพาะ 30 ตัวแรกมีดังนี้

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, ... (ลำดับ  A001223)

ข้อสังเกตเบื้องต้น

สำหรับจำนวนเฉพาะ P ใดๆ เราสามารถเขียน P# แทนความหมายของไพรมอเรียลของ P ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า P และกำหนดให้ Q เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดจาก P ดังนั้น ลำดับนี้

$P\#+2,P\#+3,...,P\#+(Q-1)$

คือลำดับของจำนวนประกอบที่อยู่ติดกัน Q−2 จำนวน ซึ่งหมายความว่ามีช่องว่างจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่เท่ากับ Q−1 ดังนั้น เราสามารถสร้างช่องว่างจำนวนเฉพาะให้มีขนาดใหญ่เท่าใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับจำนวนเฉพาะ P ใดๆ จะมีจำนวนเต็ม n ซึ่ง g_n > P (เลือก n ที่ทำให้ p_n มีค่ามากที่สุด และน้อยกว่า P# + 2)

ในความเป็นจริง ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่เท่ากับ n อาจปรากฏเป็นค่าที่น้อยกว่า n# อย่างมาก ตัวอย่างเช่น ลำดับจำนวนประกอบที่เล็กที่สุด มี 71 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 31398 และ 31468 ในขณะที่ 71# มีค่ามากถึง 27 หลัก นั่นคือ 557940830126698960967415390

ถึงแม้ว่าช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะจะเฉลี่ยเพิ่มขึ้นแบบลอการิทึมธรรมชาติบนจำนวนเต็ม อัตราของ ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด ก็จะแปรผันเพิ่มขึ้นไปตามความมหาศาลของจำนวนด้วย

ในทางตรงข้าม ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดกล่าวว่า มี n ที่ทำให้ g_n = 2 อยู่ไม่จำกัด

ผลลัพธ์เชิงตัวเลข

กระทั่งถึง พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่มีการค้นพบ มีขนาด 2,254,930 หลัก ระบุจากจำนวนเฉพาะน่าจะเป็น (probable prime) ขนาด 86,853 หลักสองจำนวน ค้นพบโดย H. Rosenthal และ J. K. Andersen ส่วนช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว มีขนาด 337,446 หลัก จากจำนวนเฉพาะขนาด 7,996 หลักที่ค้นพบโดย T. Alm, J. K. Andersen และ François Morain

เราจะกล่าวว่า g_n เป็น ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด (maximal prime gap) ถ้าหาก g_m < g_n สำหรับทุกค่าของ m < n เมื่อเดือนเมษายน พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด ที่มากที่สุดค้นพบโดย Siegfried Herzog และ Tomás Oliveira e Silva มีขนาด 1,442 หลัก ซึ่งเป็นช่องว่างมากสุดลำดับที่ 74 ที่เกิดขึ้นหลังจากจำนวนเฉพาะ 804212830686677669

อัตราส่วน (จำนวนหลักของ g_n) / ln(p_n) เรียกว่าเป็นอัตรา merit ของ g_n ซึ่งมีค่าขึ้นลงไม่เท่ากัน มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 1442 / log(804212830686677669) = 34.98

ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด 74 ตัวแรก (ไม่แสดงค่า n)

ลำดับที่ 1 ถึง 25 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 1129 10 34 1327 11 36 9551 12 44 15683 13 52 19609 14 72 31397 15 86 155921 16 96 360653 17 112 370261 18 114 492113 19 118 1349533 20 132 1357201 21 148 2010733 22 154 4652353 23 180 17051707 24 210 20831323 25 220 47326693

ลำดับที่ 26 ถึง 50 # gn pn 26 222 122164747 27 234 189695659 28 248 191912783 29 250 387096133 30 282 436273009 31 288 1294268491 32 292 1453168141 33 320 2300942549 34 336 3842610773 35 354 4302407359 36 382 10726904659 37 384 20678048297 38 394 22367084959 39 456 25056082087 40 464 42652618343 41 468 127976334671 42 474 182226896239 43 486 241160624143 44 490 297501075799 45 500 303371455241 46 514 304599508537 47 516 416608695821 48 532 461690510011 49 534 614487453523 50 540 738832927927

ลำดับที่ 51 ถึง 74 # gn pn 51 582 1346294310749 52 588 1408695493609 53 602 1968188556461 54 652 2614941710599 55 674 7177162611713 56 716 13829048559701 57 766 19581334192423 58 778 42842283925351 59 804 90874329411493 60 806 171231342420521 61 906 218209405436543 62 916 1189459969825483 63 924 1686994940955803 64 1132 1693182318746371 65 1184 43841547845541059 66 1198 55350776431903243 67 1220 80873624627234849 68 1224 203986478517455989 69 1248 218034721194214273 70 1272 305405826521087869 71 1328 352521223451364323 72 1356 401429925999153707 73 1370 418032645936712127 74 1442 804212830686677669

ผลลัพธ์ต่อๆ ไป

ผลลัพธ์ของช่องว่างจำนวนเฉพาะต่อๆ ไป เป็นไปตามสัจพจน์ของเบอร์แทรนด์ ซึ่ง g_n < p_n

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า "ความยาวเฉลี่ย" ของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ p กับจำนวนเฉพาะถัดไป มีค่าเท่ากับ ln p ซึ่งความยาวจริงของช่องว่างอาจมากกว่าหรือน้อยกว่านี้ก็ได้ อย่างไรก็ตาม จากทฤษฎีบทดังกล่าวเราสามารถคาดคะเนขอบเขตบนสำหรับความยาวของช่องว่างนั้น นั่นคือ ทุกค่าของ ε > 0 จะมีจำนวน N ที่ทำให้ g_n < εp_n สำหรับทุกค่าของ n > N

Guido Hoheisel ได้แสดงเป็นครั้งแรก ว่ามีค่าคงตัว θ < 1 ที่ทำให้

$\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim x^{\theta }/\log(x)\,\!$

เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้อนันต์ ซึ่งแสดงให้เห็นว่า

$g_{n}<p_{n}^{\theta }$

สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดมากเพียงพอ เราสามารถคาดคะเนว่าช่วงว่างจะดูเล็กลงเมื่อเทียบกับขนาดของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ g_n / p_n จะมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์

Hoheisel เลือกค่าที่เป็นไปได้คือ 32999/33000 สำหรับแทนค่าของ θ ต่อมาก็ได้พัฒนาเป็น 249/250 โดย Hans Heilbronn และเปลี่ยนเป็น 3/4 + ε สำหรับค่าใดๆ ของ ε > 0 โดย Čudakov

การพัฒนาครั้งหนึ่งที่สำคัญโดย Albert Ingham ผู้ซึ่งกล่าวว่า ถ้าหาก

$\zeta (1/2+\mathbf {i} t)=O(t^{c})$

จะมีค่าคงตัว c ที่เป็นจำนวนบวก ที่ทำให้

$\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim x^{\theta }/\log(x)\,\!$

สำหรับค่าใดๆ ของ θ > (1 + 4c)/(2 + 4c) เมื่อ ζ คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และ π คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ ในเมื่อเราทราบว่าค่าของ c > 1/6 เป็นค่าที่ยอมรับได้ ดังนั้น θ จึงสามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ที่มากกว่า 5/8

จากความรู้ของ Ingham ส่งผลให้สามารถทราบได้ว่า จะมีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n³ และ (n + 1)³ เสมอ ถ้า n มีขนาดใหญ่เพียงพอ ไม่เว้นแม้แต่สมมติฐานของ Lindelöf ซึ่งกล่าวว่าเราสามารถให้ค่า c เป็นจำนวนบวกใดๆ แล้วทำให้มีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n² กับ (n + 1)² ด้วยเงื่อนไขเดียวกัน (ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเลอช็องดร์) และเพื่อที่จะยืนยันคำกล่าวนี้ ผลลัพธ์ที่มีน้ำหนักอย่างเช่นข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์อาจเป็นที่ต้องการ

Martin Huxley กล่าวว่าเราอาจสามารถใช้ค่า θ = 7/12 ก็ได้ และจากผลลัพธ์เมื่อเร็วๆ นี้ Baker, Harman และ Pintz ได้แสดงให้เห็นว่า θ สามารถเท่ากับ 0.525 ก็ได้

ข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ

ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่ดีกว่าจะสามารถเป็นไปได้ ถ้าหากให้สมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง Harald Cramér ได้พิสูจน์แล้วว่า ช่องว่างจำนวนเฉพาะ g(p)

$g(p)=O({\sqrt {p}}\ln p)$

ตรงตามเงื่อนไขภายใต้สมมติฐานนี้ อย่างไรก็ตาม เขาได้คาดการณ์ว่าอาจจะมีช่องว่างที่มีขนาดเล็กกว่านี้อีก โดยคาดการณ์อย่างหยาบๆ ว่า

$g(p)=O\left((\ln p)^{2}\right)$

และปัจจุบันดูเหมือนว่าแนวโน้มของตัวเลขจะเข้าสู่แนวทางนี้ ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์

ข้อความคาดการณ์ของแอนดริกาได้ระบุว่า

$g(p)<2{\sqrt {p}}+1$

อ่านเพิ่ม

• Soundararajan, Kannan (2007). "Small gaps between prime numbers: the work of Goldston-Pintz-Yıldırım". Bull. Am. Math. Soc. New Series. 44 (1): 1–18. arXiv:math/0605696. doi:10.1090/s0273-0979-06-01142-6. S2CID 119611838. Zbl 1193.11086.
• Mihăilescu, Preda (June 2014). "On some conjectures in additive number theory" (PDF). EMS Newsletter (92): 13–16. doi:10.4171/NEWS. hdl:2117/17085. ISSN 1027-488X.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Prime Difference Function" จากแมทเวิลด์.
• Prime Difference Function on PlanetMath
• Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture, does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
• Chris Caldwell, Gaps Between Primes; an elementary introduction
• Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.