กลศาสตร์แฮมิลตัน

'ข้อความตัวหนา'ฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันฮามิลตัน (Hamilton function) สำหรับระบบทางกลศาสตร์แบบฉบับ (classical mechanics) คือฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดทั่วไป โมเมนตัมสังยุค และเวลา ที่สามารถใช้อธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลา (time evolution) ของระบบนั้นได้ ทั้งนี้เนื่องจากสถานะของระบบในกลศาสตร์แบบฉบับสามารถอธิบายได้โดยการบอกพิกัดและโมเมนตัมเป็นฟังก์ชันของเวลา

นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน

ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ นอกจากการใช้กฎของนิวตัวและกลศาสตร์แบบลากรานจ์แล้วเราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน (Lagrangian)ของระบบ เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ในรูปของอนุพันธ์อันดับที่ 1 เปลี่ยนจากการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบในปริภูมิโครงแบบมาเป็นปริภูมิเฟสที่มีจำนวนมิติเป็น 2N วิธีการนี้ คือ สมการของแฮมิลตัน ซึ่งถูกเสนอขึ้นในปี 2376 โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ซึ่งการได้มาของสมการแฮมิลตันทำได้ 2 ลักษณะ คือ 1. การแปลงเลอร์จอง (Legendre Transformation) 2. หลักการแปรผัน (Variational Principle) เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (generalized coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน
$p(t)\equiv {\frac {\partial L\left(q,{\dot {q}},t\right)}{\partial {\dot {q}}}}$
โดย $q(t)$ คือพิกัดทั่วไป ${\dot {q}}(t)$ คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ $t$ คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ

เมื่อเรานิยามโมเมนตัมสังยุคแล้ว ถ้าเราสามารถเขียนอัตราเร็ว ${\dot {q}}(t)$ ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตั้มได้ เราจะสามารถมองว่าพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระได้ (ต่างจากในกรณีของลากรางเจียน ซึ่งความเร็วจะเป็นแค่อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัด ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ) ซึ่งปริภูมิของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคนี้มีชื่อคือ Phase space

ฮามิลโทเนียนของระบบนั้นจะนิยามโดยการแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) ของลากรางเจียนคือ
$H(q(t),p(t),t)=p(t){\dot {q}}(q,p,t)-L(q,{\dot {q}}(q,p,t),t)$
โดยที่เราเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม (ทำให้ฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม ไม่ใช่พิกัดและความเร็ว)

ฮามิลโทเนียนในกรณีทั่วไป

ในกรณีที่จำเป็นต้องใช้พิกัด $N$ ตัว
$q\equiv \left\{q_{1}(t),q_{2}(t),...,q_{N}(t)\right\}$
เพื่ออธิบายระบบด้วยลากรางเจียน
$L\left(q,{\dot {q}},t\right)\equiv L\left(q_{1},q_{2},...q_{N},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{N},t\right)$
เราจะสามารถนิยามโมเมนตัมสังยุคแต่ละตัว $p_{i}(t)$ ได้โดย
$p_{i}(t)\equiv {\frac {\partial L\left(q_{1},q_{2},...q_{N},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{N},t\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\qquad \qquad i=1,2,...,N$
ทำให้เรามีระบบสมการ N สมการ ในกรณีที่สมการนี้สามารถแก้ได้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้อยู่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม
${\dot {q}}_{i}=f_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N},t\right)$
เราจะสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากการการแปลงเลอจองก์
$H\left(q(t),p(t),t\right)=\sum _{i}p_{i}(t){\dot {q}}_{i}(q,p,t)-L\left(q,{\dot {q}}(q,p,t),t\right)$

ข้อควรระวังคือในบางระบบ เราจะไม่สามารถเขียนอัตราเร็วของพิกัดทุกๆตัวให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมได้ ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมทุกตัวไม่เป็นอิสระต่อกันและไม่สามารถใช้ฮามิลโทเนียนอธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลาของระบบได้

ความสัมพันธ์ระหว่างฮามิลโทเนียนกับลากรานเจียน

เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนได้จากลากรานเจียน (Lagrangian) ของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (Generalized Coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (Conjugate Momenta, Canonical Momenta หรือ Generalized Momenta) แต่ลากรานเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อนและจะได้สมการแบบบัญญัติของแฮมิลตัน (Canonical Equation of Hamilton) หรือ สมการแฮมิลตัน (Hamilton’s Equation) เป็นสมการการเคลื่อนที่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 ซึ่งแตกต่างจากสมการลากรานจ์ที่อยู่ในรูปสมการอนุพันธ์อันดับที่ 2 เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ $\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,{\dot {q}},t)$ เราจะได้
$\delta \left(\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\delta p_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t+\sum _{i}\left(p_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\delta {\dot {q}}_{i}$
จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ ${\dot {q}}_{i}$ ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ $\delta q_{i}$ เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน
$\delta H(q,p,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\delta p_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t$
จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้
${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$
ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ
${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\Longleftrightarrow p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$
ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์

เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ $\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-H(q,p,t)$ จะพบว่า
$\delta \left(\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-H(q,p,t)\right)=\sum _{i}p_{i}\delta {\dot {q}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\delta t+\sum _{i}\left({\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right)\delta p_{i}$
และเมื่อใช้นิยามของ ${\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i}$ จะเห็นว่าปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรคือพิกัด อัตตราเร็ว และเวลา ซึ่งก็คือลากรางเจียนนั่นเอง
$\delta L(q,{\dot {q}},t)=\sum _{i}p_{i}\delta {\dot {q}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\delta t$
นอกจากนั้นเราพบว่า
${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$
และ
${\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial t}}$
ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเดียวกัน เนื่องจากตัวแปร $q_{i}$ และ $t$ ไม่ได้มีการแปลงเลอจองก์

ข้อสรุปสำคัญสำหรับหัวข้อนี้คือลากรางเจียนและฮามิลโทเนียนเป็นปริมาณที่เป็นคู่กัน (dual) ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของการแปลงเลอจองก์

การแปลงคาโนนิคัล

การแปลงคาโนนิคัลอาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากระบบพิกัดที่เป็นไปตามสมการของแฮมิลตัน หรือที่เรียกกันว่า ระบบพิกัดคาโนนิคัล เนื่องจากการแก้ไขปัญหาทางกลศาสตร์บางครั้งทำได้ยาก แต่ถ้าเราแปลงระบบพิกัดหรือโมเมนตัมให้เหมาะสมก็อาจทำให้การแก้ปัญหาทำได้ง่ายขึ้น ซึ่งการแปลงคาโนนิคัลยังคงอยู่ในรูปของคาโนนิคัลเดิมของสมการแฮมิลตัน เป็นการแปลงกลุ่มของพิกัด $q_{i}$ ไปเป็นกลุ่มพิกัดใหม่ $Q_{i}$ ซึ่งการแปลงมีรูปแบบเป็น $Q_{i}=Q_{i}{(q_{k},p_{k},t)}$ และ $P_{i}=P_{i}{(q_{k},p_{k},t)}$

กล่าวได้ว่า การที่จะทราบระบบพิกัดใหม่ได้ จำเป็นที่จะต้องทราบระบบพิกัดเดิมและโมเมนตัมเดิม การแปลงนี้ที่จะต้องพิจารณา คือ การแปลงที่ทำให้ทั้ง $Q$ และ $P$ ใหม่ที่จะได้ต่างก็เป็นพิกัดคาโนนิคัล ซึ่งหมายความว่า ระบบพิกัดใหม่ที่ได้ต้องเป็นไปตามสมการแฮมิลตัน นั่น คือ จะต้องมีฟังก์ชัน $K{(Q,P,t)}$ ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {Q_{i}} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P_{i}} }}\\{\dot {\mathbf {P_{i}} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q_{i}} }}\end{aligned}}$

จะเห็นได้ว่าฟังก์ชัน $K$ ก็คือ ฮามิลโทเนียนในระบบพิกัดใหม่นั่นเอง เรียกการแปลงที่ทำให้สมการข้างต้นทั้งสองเป็นจริงว่า การแปลงแบบคาโนนิคัล การจะแปลงจากระบบพิกัดและโมเมนตัมเก่าไปเป็นระบบพิกัดและโมเมนตัมใหม่นั้น จะต้องมีฟังก์ชันกำเนิด (Generating Function) เป็นฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระเดิม กับตัวแปรอิสระใหม่ จะแบ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลออกเป็น 4 รูปแบบตามปริภูมิเฟสที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งการกำหนดฟังก์ชันจะอาศัยหลักการของการแปลงเลอจองด์

ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน

การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ

ระบบการสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ (1 dimensional harmonic oscillator) สามารถอธิบายโดยลากรางเจียน
$L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}$
โดย $x(t)$ คือพิกัดของระบบ (เช่นตำแหน่งของอนุภาคบนสปริง) และ $k$ คือค่าคงที่ของระบบนั้น (เช่นค่าคงที่ของสปริง) จะเห็นว่าโมเมนตัมสังยุคของพิกัด $x(t)$ คือ
$p={\frac {\partial L(x,{\dot {x}})}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}$
ซึ่งในกรณีนี้จะสามารถแก้สมการและเขียนอัตราเร็วของพิกัด $x(t)$ ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้
${\dot {x}}={\frac {p}{m}}$
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
$H(x,p)=p{\dot {x}}(p)-L(x,{\dot {x}}(p))=p{\frac {p}{m}}-{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}$
สังเกตว่า
$H(x,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=T(p)+V(x)$
เมื่อ $T(p)$ คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) ซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและ $V(x)$ คือพลังงานศักย์ของระบบ

การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง (Central Potential)

แรงสู่ศูนย์กลางสามารถอธิบายได้โดยศักย์ที่เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิง (origin)
$V=V(r)$
ในกรณีนี้การเลือกใช้พิกัดทรงกลมให้เป็นพิกัดทั่วไปจะทำให้อธิบายระบบได้สะดวกกว่า
$q_{1}(t)=r(t),\qquad q_{2}(t)=\theta (t),\qquad q_{3}(t)=\phi (t)$
การที่ศักย์เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิงอย่างเดียวทำให้ระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน(รอบแกนใดๆก็ได้) ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนรอบแกนนั้นๆไม่เปลี่ยนแปลง (conserved) ทำให้การเคลื่อนที่ของระบบอยู่ในระบาบ 2 มิติ ดังนั้นเราจำเป็นจะต้องใช้พิกัดแค่สองจากสามตัวในการบอกตำแหน่งของระบบ ลากรางเจียนของระบบนี้คือ
$L\left(r,\phi \right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-V(r)$
ในกรณีนี้จะมีโมเมนตัมสังยุคของพิกัดสองพิกัดคือ
$p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}$
และ
$p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}$
โดยเราสามารถแก้สมการเขียนอัตตราเร็วในรูปของโมเมนตัมได้คือ
${\dot {r}}={\frac {p_{r}}{m}}$

${\dot {\phi }}={\frac {p_{\phi }}{mr^{2}}}$
สังเกตว่าอัตราเร็ว ${\dot {\phi }}$ เป็นฟังก์ชันของทั้งโมเมนตัมสังยุคของพิกัด $\phi$ เองและฟังก์ชันของพิกัด $r$ ด้วย

ในกรณีนี้จะได้
$H(r,\phi ,p_{r},p_{\phi })={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{2mr^{2}}}+V(r)$
ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์(ที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้เช่นกัน

อนุภาคในสนามไฟฟ้า

สำหรับอนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ($v<<c$) จะได้ว่าลากรางเจียนของระบบคือ
$L\left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-e\phi (r)$
โดยที่ $e$ คือประจุไฟฟ้าของอนุภาค $\phi =\phi (r)$ คือศักย์สเกลาร์

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
$\mathbf {p} _{r}=m{\dot {\mathbf {r} }}$
ซึ่งจะเท่ากับ kinetic momentum $m{\dot {r}}$ ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
$H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+e\phi (r)={\frac {\mathbf {p} _{r}^{2}}{2m}}+e\phi (r)$
ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมพลังงานจลน์(เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้

อนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

เมื่ออนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ($v<<c$) อยู่ในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เราจะต้องเปลี่ยนมาใช้ลากรางเจียนซึ่งมีเทอมที่อธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
$L\left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-e\phi (r)+{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}$
โดยที่ $\mathbf {A} =\mathbf {A} (r)$ คือศักย์เว็คเตอร์ (vector potential) ของสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก สังเกตว่าในกรณีนี้เราไม่สามารถนิยามลากรางเจียนได้จากผลต่างของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ (เนื่องจากสนามแม่เหล็กไม่ทำงาน)

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
$\mathbf {p} _{r}=m{\dot {\mathbf {r} }}+{\frac {e}{c}}\mathbf {A}$
ซึ่งจะไม่เท่ากับ kinetic momentum $m{\dot {r}}$

ฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
$H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+e\phi (r)={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi (r)$
ซึ่งจะเห็นว่าในกรณีนี้ ฮามิลโทเนียนของระบบจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและพลังงานศักย์จากสนามไฟฟ้า แต่ไม่มีเทอม"พลังงาน"ในรูป ${\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}(\mathbf {p} _{r})$ ซึ่งจริงๆแล้วเทอมนี้เป็นเพียงตัวกำหนดอันตรกริยา(interaction) ระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก

เมื่อใดที่ H = T + V

ในกรณีที่เราทราบศักย์ V(q) ของระบบแล้วต้องการที่จะสร้างฮามิลโทเนียนของระบบนั้น การจะเขียน $H=T+V$ เมื่อ $T$ คือพลังงานจลน์ของระบบที่เป็นฟังก็ชันของโมเมนตัมสังยุคและ $V$ คือฟังก์ชันของพลังงานศักย์ จะต้องทำด้วยความระมัดระวัง เช่นในตัวอย่างข้างบนสำหรับอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

กรณีทั่วไป

เมื่ออัตรเร็วที่ปรากฏในลากรางเจียนของระบบใดๆอยู่ในรูปยกกำลังสองเท่านั้น เราจะสามารถเขียนลากรางเจียนจะอยู่ในรูปผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์
$L(q,p)=T({\dot {q}}^{2})-V(q)$
และสามารถเขียนพจน์ของ"พลังงานจลน์"ได้เป็น
$T({\dot {q}})={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{k}$
โดยที่ $a_{ik}=a_{ik}(q)$ อาจจะเป็นฟังชันก์ของพิกัดได้ เราจะพบว่าโมเมนตัมสังยุคคือ
$p_{i}(q,p)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{k}a_{ik}{\dot {q}}_{k}$
ในกรณีที่สามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคได้
$q_{i}(q,p)=f_{i}(q,p,t)$
เมื่อ $f_{i}(q,p)$ คือฟังก์ชันที่เหมาะสม เราจะพบว่า
$\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}=\sum _{i,k}{\dot {q}}_{i}a_{ik}{\dot {q}}_{k}=2T$
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้จะเป็น
$H(q,p)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L=2T-(T-V)=T(p)+V(q)$
โดยที่พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค นั่นคือเราจะสามารถเขียนฮามิลโทเนียนให้เป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วกำลังสอง(และเป็นฟังก์ชันของพิกัด)

สำหรับลากรางเจียนที่เขียนอยู่ในรูป
$L(q,{\dot {q}},t)={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{k}+\sum _{i}b_{i}{\dot {q}}_{i}-V(q)$
โดยที่ $a_{ik}$ และ $b_{i}$ อาจจะเป็นฟังก์ชันของพิกัด จะเห็นว่า
$p_{i}=\sum _{k}a_{ik}{\dot {q}}_{k}+b_{i}$
ดังนั้น
$H(q,p,t)=\sum {p_{i}{\dot {q}}_{i}}-L=2T+\sum _{i}b_{i}{\dot {q}}_{i}-L={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}(q,p,t){\dot {q}}_{k}(q,p,t)+V(q)$
สังเกตว่าเทอมที่เป็นเชิงเส้น(linear)ของอัตราเร็วในลากรางเจียนจะไม่ปรากฏในฮามิลโทเนียน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องระมัดระวังในการนิยามส่วนที่จะเรียกว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ในลากรางเจียน ซึ่งอาจจะทำให้ได้ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกต้องได้ถ้าใช้"วิธีลัด" $H=T+V$

ตัวอย่าง

ลากรางเจียนของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลางจากตัวอย่างข้างบน
$L\left(r,\phi \right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-V(r)$
เป็นฟังก์ชันของ ${\dot {r}}^{2},{\dot {\phi }}^{2},r$ โดย $a_{rr}=m$ และ $a_{\phi \phi }=mr^{2}$ ในกรณีนี้จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนสามารถเขียนเป็นนผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้

ส่วนในกรณีของอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กจะเห็นว่าลากรางเจียนมีเทอมที่เป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วยกกำลังหนึ่งอยู่ คือเทอม ${\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}$ ซึ่งทำให้ไม่สามารถเขียนฮามิลโทเนียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้ถ้าเรามองว่าเทอมดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานศักย์

เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์

สิ่งสำคัญในการสร้างฮามิลโทเนียนคือระบบสมการที่ใช้นิยามโมเมนตัมสังยุคจะต้องสามารถแก้ได้เพื่อจะเขียนอัตราเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา

ตัวอย่าง

เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอดีกรีหนึ่งของอัตราเร็ว (Homogeneous function)
$L(q,\lambda {\dot {q}})=\lambda L(q,{\dot {q}})$
เมื่อใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler) สำหรับฟังก์สม่ำเสมอ เราจะพบว่า
$p{\dot {q}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=L$
ดังนั้น
$H(q,p)=p{\dot {q}}-L(q,p)=L-L=0$

อนุภาค relativistic

ตัวอย่างของลากรางเจียนที่มีคุณสมบัตินี้คือลากรางเจียนของอนุภาค relativistic ซึ่งเราสามารถให้เวลา $t$ เป็นตัวแปรพลวัติ (dynamical variable) ได้ถ้าเราใช้พารามิเตอร์ $\tau$ ใดๆในการอธิบายการเคลื่อนที่โดยที่ กล่าวคือ
$x^{\mu }=x^{\mu }(\tau )=\left(t(\tau ),\mathbf {x} (\tau )\right)\qquad \qquad \mu =0,1,2,3$
สังเกตว่าเพื่อความสะดวก เราจะใช้หน่วยธรรมชาติ (natural units) คือหน่วยที่เลือกให้อัตราเร็วแสงและค่าคงที่ของพลังค์ (Planck constant) มีค่าเป็นหนึ่ง

ในกรณีที่เราเลือก $\tau$ ที่ทำให้
$\sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }\equiv \sum _{\mu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx_{\mu }}{d\tau }}=1$
เราจะสามารถใช้ $\tau$ เป็นเวลาที่วัดบนกรอบอ้างอิงที่เป็นกรอบอ้างอิงเดียวกับนาฬิกาได้ (proper time) โดยเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การเติมจุดข้างบนตัวแปร ${\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}$

ลากรางเจียนที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้คือ
$L({\dot {x}})=m{\sqrt {\sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }}}$
เราจะพบว่าลากรางเจียนนี้เป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอของอัตราเร็ว
$L(\lambda {\dot {x}})=m{\sqrt {\sum _{\mu }\lambda {\dot {x}}^{\mu }\lambda {\dot {x}}_{\mu }}}=\lambda m{\sqrt {\sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }}}=\lambda L({\dot {x}})$
โมเมนตัมสังยุคของอัตราเร็วใน spacetime $({\dot {x}}^{\mu })$ คือ
$p_{\mu }(\tau )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\mu }}}={\frac {m{\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}$
เมื่อใช้วิธีจากตัวอย่างข้างบน (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์
$H(x,p)=\sum _{\mu }{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\mu }}}{\dot {x}}^{\mu }-L=L-L=0$

สาเหตุที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์คือ โมเมนตัมสังยุคมีคุณสมบัติ
$p_{\mu }(\lambda {\dot {x}})={\frac {m\lambda {\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }\lambda ^{2}{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}=p_{\mu }({\dot {x}})$
ซึ่งแสดงว่าเส้นใดๆในปริภูมิ (space) ของ ${\dot {x}}^{\mu }$ ที่ลากระหว่างจุด ${\dot {x}}^{\mu }$ ใดๆกับจุด $\lambda {\dot {x}}^{\mu }$ จะถูกแม๊ป (map) ไปยังจุดๆเดียวในปริภูมิของโมเมนตัม ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิของอัตราเร็วจะถูกแม๊ปไปยังพื้นผิวหนึ่ง (surface) ในปริภูมิของโมเมนตัม ซึ่งพื้นผิวนี้จะถูกนิยามโดยโมเมนตัมสังยุค
$p^{2}\equiv \sum _{\mu }p_{\mu }p^{\mu }={\frac {m{\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}{\frac {m{\dot {x}}^{\mu }}{\sqrt {\sum _{\sigma }{\dot {x}}^{\sigma }{\dot {x}}_{\sigma }}}}=m^{2}$
ทำให้ไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ นอกจากนั้น สังเกตว่า
$p^{2}=E^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}$
ก็คือความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม มวล และพลังงานของอนุภาคที่ได้จากทฤษฎัสัมพัธภาพนั่นเอง ดังนั้นพื้นผิวดังกล่าวจึงเรียกว่า mass-shell constraint surface

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการที่สมการความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมสังยุคและอัตตราเร็ว (นิยามของโมเมนตัมสังยุค)ไม่สามารถถูกแก้เพื่อเขียนอัตราเร็วทุกตัวในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ โมเมนตัมของระบบจะไม่เป็นปริมาณอิสระต่อกัน ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน

วิธีตรวจสอบว่าใช้ฮามิลโทเนียนได้หรือไม่

ในกรณีที่ใช้ตัวแปรหลายตัวในการอธิบายระบบ เมื่อต้องการทราบว่าโมเมนตัมสังยุคเป็นตัวแปรอิสระต่อกันหรือไม่ เราจะพิจารณาดีเทอร์มิแนนท์ (determinant) ของแมตริกซ์ที่สร้างจากอนุพันธ์อันดับสองของนิยามของโมเมนตัม ซึ่งทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกแมตริกซ์นี้ว่าเฮซเซียน (Hessian matrix) โดยแมตริกซ์นี้มีสมาชิกตัวแถวที่ $i$ และหลักที่ $j$ คือ
${\frac {\partial {p_{i}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\qquad \qquad i,j=1,2,3,...N$
โดยเราจะสามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนท์ของแมตริกซ์นี้ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือเราจะได้
${\dot {q}}_{i}={\dot {q}}_{i}(q,p,t)\qquad \qquad i=1,2,...,N$
ก็ต่อเมื่อ
${\text{det}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\neq 0$

ส่วนในกรณีที่
${\text{det}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0$
เราจะไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน ซึ่งในกรณีนี้เราจะต้องใช้วิธีสร้างฮามิลโทเนียนสำหรับระบบที่มี constraint ซึ่งผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแหล่งข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง

ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบี

การแปลงระบบพิกัดแบบคาโนนิคัลเป็นวิธีอันหนึ่งที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ โดยหากแฮมิลโทเนียนของระบบเป็นปริมาณอนุรักษ์ ก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้ด้วยการแปลงระบบพิกัดนั้นไปยังระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่ที่มีระบบพิกัดเป็นไซคลิก การแก้ปัญหาด้วยวิธีการแปลงแบบคาโนนิคัลที่เหมาะสม จนทำให้ระบบพิกัดและโมเมนตัม ${(q,p)}$ ที่เวลาใดๆ เป็นปริมาณคงตัว ซึ่งปริมาณที่คงตัวนี้อาจจะเป็นค่าของพิกัดและโมเมนตัมที่เวลาเริ่มต้น ${(q_{0},p_{0})}$ การแปลงดังกล่าวจะก่อให้เกิดชุดของสมการของการแปลงที่มีรูปแบบเป็น

$q=q{(q_{0},p_{0},t)}$ -----1

$p=p{(q_{0},p_{0},t)}$ -----2

สมการที่ 1 และ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและโมเมนตัมที่เวลา t ใดๆ กับพิกัดและโมเมนตัมขณะเริ่มต้นซึ่งคงตัว แสดงให้เห็นว่าทั้งพิกัดและโมเมนตัมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้น สมการ 1 และ 2 จะเป็นคำตอบของปัญหา ซึ่งมีแนวคิดทฤษฎีมาจากการแปลงคาโนนิคัลที่ใช้ฟังก์ชันกำเนิดชนิดที่ 2 คือเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปเดิม และโมเมนตัมทั่วไปใหม่ ที่เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่และเป็นฟังก์ชันของเวลา หากแฮมิลโทเนียนในระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่มีค่าเป้นศูนย์ จะทำให้ตัวแปรใหม่มีค่าคงตัว นั่นคือ

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {Q_{i}} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P_{i}} }}&=0\\{\dot {\mathbf {P_{i}} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q_{i}} }}&=0\end{aligned}}$

เมื่อ $K$ เป็นแฮมิลโทเนียนใหม่ และ${(P,Q)}$ เป็นกลุ่มของตัวแปรใหม่ที่ได้จากการแปลง และเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแฮมิลโทเนียนเก่า$(H)$ และแฮมินโทเนียนใหม่$(K)$ ได้ดังสมการ

$K=H+{\partial F \over \partial t}$

โดย $F$ เป็น Generating function หรือฟังชันก์กำเนิด ดังนั้น ถ้า $K=0$ ฟังก์ชัน $F$จะเป็นไปตามสมการ

$H(q,p,t)+{\partial F \over \partial t}=0$

เนื่องจากสมการแฮมิลตัน – จาโคบีสามารถแก้ปัญหากลศาสตร์ได้เหมือนวิธีอื่นๆ เช่น การเคลื่อนที่การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง การเคลื่อนที่ภายใต้สนามโน้มถ่วง