ผู้ใช้:546t54/ทดลองเขียน

ตัวคูณร่วมน้อย ใช้ในการคำนวณงานที่ใช้เวลาต่างกัน และหาเวลาที่จะทำพร้อมกันในครั้งต่อไป เรียกว่า คณิตศาสตร์ประยุกต์

วิธีการหา ค.ร.น.

1.โดยการแยกตัวประกอบ มีวิธีการดังนี้ https://th.wikipedia.org/wiki/วิธีใช้:สูตรคณิตศาสตร์

ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะทั้งหมดลู่ออก สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ในปี ค.ศ. 1737 และทำให้การพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนเป็นอนันต์รัดกุมยิ่งขึ้น 

อนุกรมฮาร์มอนิก

เขากำลังพิจารณาอนุกรมฮาร์มอนิค

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\infty$$

เขาใช้ " สูตรผลคูณ " ต่อไปนี้เพื่อแสดงการมีอยู่ของจำนวนเฉพาะจำนวนนับไม่ถ้วน

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$$

ผลคูณข้างต้นเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต เขาตั้งข้อสังเกตว่าหากมีจำนวนเฉพาะจำนวนจำกัด ผลคูณทางด้านขวาก็จะลู่เข้า ซึ่งขัดแย้งกับการลู่ออกของอนุกรมฮาร์มอนิก

หลักฐาน

เขาพิจารณาสูตรผลคูณข้างต้น ขั้นแรก เขาหาลอการิทึมของแต่ละด้าน จากนั้นเขาใช้ อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับ log x รวมถึงผลรวมของอนุกรมที่ลู่เข้า: 
$${\begin{aligned}\log \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\log \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\\[5pt]&=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)\\[5pt]&=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=A+{\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\[5pt]&=A+K\end{aligned}}$$
 สำหรับค่าคงที่ K จากนั้นเขาก็ใช้ความสัมพันธ์ว่า 
$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\log \infty ,$$
 ทำให้เขาสามารถสรุปได้ว่า 
$$A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\log \log \infty .$$