ผู้ใช้:Robosorne/กระบะทราย 6

การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม (Full state feedback FSF) หรือ การวางขั้ว placement ซึ่งเป็นวิธีการออกแบบตัวควบคุมสำหรับป้อนกลับในทฤษฎีระบบควบคุม เพื่อวางขั้วของระบบวงปิดในเป็นไปในตำแหน่งที่ผู้ออกแบบต้องการในระนาบจของผลการแปลงลาปลาซ (s-plane) โดยการวางขั้วในที่นี้หมายถึงการกำหนดค่าลักษณะเฉพาะของตัวระบบ (ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ A ในสมการแบบจำลองปริภูมิสถานะ) นั้นมีความเกี่ยวพันกับเสถียรภาพของตัวระบบโดยตรงตามทฤษฎีระบบควบคุมเชิงเส้น และวิธีการนี้ใช้ได้กับเฉพาะระบบที่มีทฤษฎีระบบควบคุม#สภาพควบคุมได้เท่านั้น ซึ่งนั้นหมายความว่าในที่นี้เราถือว่าเราสามารถวัดค่าสถานะได้ทุกค่าจากตัวตรวจวัด ซึ่งเป็นกรณีที่อุดมคติมากในความเป็นจริง

หลักการ

ถ้าระบบวงปิดสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการปริภูมิสถานะ) ดังนี้แล้ว

${\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}};$

${\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}}$

ดังนั้นขั้ว (pole) ของระบบคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ ที่มีรูปแบบดังนี้

$\left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.$

เมื่อทำการป้อนกลับโดยใช้ค่าสถานะทุกตัว ${\underline {x}}$ แล้ว (เพราะถือว่าเราสามารถวัดค่าสถานะได้ทุกค่าจากตัวตรวจวัด) สัญญาณขาเข้า ${\underline {u}}$ คือ

${\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}$.

แทนค่า ${\underline {u}}$ ข้างต้นลงในสมการสถานะ จะได้ว่า

${\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}};$

${\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.$

ขั้วของระบบที่ได้รับการป้อนกลับแล้วจะหาได้จากสมการลักษณะเฉพาะ $\det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]$ และโดยการเทียบสัมประสิทธิ์ ของสมการนี้กับ สมการลักษณะเฉพาะที่เราต้องการ ผู้ออกแบบก็จะสามารถหาค่าของเมทริกซ์ ${\textbf {K}}$ ที่ใช้ในการควบคุมระบบให้มีขั้วตามสมการลักษณะเฉพาะที่เราต้องการได้

ตัวอย่าง

พิจารณาสมการปริภูมิสถานะ

${\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}$

จะพบว่าเมื่อไม่มีการควบคุมนั้น ตัวระบบวงปิดมีขั้วที่ $s=-1$ และ $s=-2$ แต่ถ้าเราต้องการให้ระบบวงปิดมีขั้วที่ $s=-1$ และd $s=-5$ แทน (ซึ่งมีสมการลักษณะเฉพาะคือ $s^{2}+6s+5=0$) .

ขั้นตอนการการป้อนกลับสถานะแบบเต็ม เป็นดังนี้คือ กำหนดให้ ค่าคงที่ $\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}$

และสมการลักษณะเฉพาะของระบบที่ติดตัวแปร $\mathbf {K}$คือ

$\left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1})$.

เมื่อทำการเทียบ สัมประสิทธิ์ของทั้งสองสมการลักษณะเฉพาะแล้วจะได้

$\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}$.

จะเห็นได้ว่าการกำหนดให้ ${\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}$ (ซึ้งก็คือการป้อนสถานะแบบเต็มนั้นเอง) ทำให้ระบบวงปิดมีขั้วและคุณสมบัติตามที่เราต้องการนั้นเอง

'หมายเหตุ: ตัวอย่างข้างต้นนี้สำหรับกรณี สัญญาณเข้าทางเดียวและสัญญาณขาออกทางเดียว (Single-Input and Single-Output) เท่านั้น ในกรณี สัญญาณขาเข้าหลายทางและสัญญาณขาออกหลายทาง (Multiple-Input and Multiple-Output) ค่า เมทริกซ์ ${\textbf {K}}$ อาจจะมีได้หลายค่าและให้ผลต่อระบบวงปิดในแบบเดียวกัน ดังนั้นการเลือกใช้ K ที่ดีที่สุดและเหมาะกับสภาพความเป็นจริงของปัญหาก็เป็นอีกประเด้นหนึ่งที่ผู้ออกแบบต้องพิจารณา ซึ่งโดยปรกติแล้วเราจะนิยมใช้วิธีการlinear-quadratic regulator กันมากกว่า

ดูเพิ่ม

• Pole splitting
• Step response

ระบบมีพลวัตแบบเวลายง หรือ ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (Time-invariant system) คือระบบที่คุณสมบัติของระบบไม่เปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไป กล่าวคือ สมมุติว่าไม่มีความล่าช้าเกิดขึ้นในระบบ (ระบบรับสัญญาณขาเข้าแล้วสามารถให้สัญญาณขาออกได้ในทันที) ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า $x(t)$ ที่เวลา $t$ จะได้สัญญาณขาออกเป็น $y(t)$ ที่เวลา $t$ ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา $t+\delta$ นั้นคือ $x(t+\delta )$ สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ก็ต้องเป็น ค่าเดิม คือ $y(t+\delta )$เพียงแต่จะปรากฏที่เวลา $t+\delta$ ตามเวลาที่ป้อนสัญญาณขาเข้า $x(t+\delta )$

ตัวอย่างที่หนึ่ง

ตัวอย่างนี้เป็นการพิจารณาอย่างง่าย โดยเมื่อพิจารณา สมการสถานะ :

• System A: $y(t)=t\,x(t)$
• System B: $\,\!b(t)=10x(t)$

จะเห็นได้ว่า ระบบ A นั้นมีพารามิเตอร์ของระบบ (สัมประสิทธิ์หน้า $x(t)$ ) ขึ้นกับเวลา t อย่างชัดแจ้ง นั้นหมายความว่าระบบมีคุณสมบัติเปลี่ยนแปรตามเวลาได้ ส่วนระบบ B นั้น พารามิเตอร์ของระบบไม่ขึ้นกับ เวลา t ดังนั้นระบบเป็นระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

ตัวอย่างที่ 2

ในตัวอยางนี้เราจะใช้นิยามที่ 2 ในการตรวจสอบคุณสมบัติความไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาของระบบ

ระบบ A:

พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า (delay) $x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=t\,x(t)$

$y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )$

และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา $t+\delta$

$y(t)=t\,x(t)$

$y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

จะเห็นได้ว่า $y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)$, ดังนั้นระบบมีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา

System B:

พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า $x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=10\,x(t)$

$y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )$

และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา $\,\!\delta$

$y(t)=10\,x(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )$

จะเห็นได้ว่า $y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)$, ดังนั้นระบบไม่มีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา

ตัวอย่างที่ 3

เราจะใช้ ตัวดำเนินการเลื่อน (shift operator) โดยเขียนในสัญลักษณ์ $\mathbb {T} _{r}$ โดยที่ $r$ คือจำนวนที่เราต้องการทำการเลื่อนเชิงเวลา ตัวอย่างเช่น ระบบที่มีการล้ำหน้าเชิงเวลาไป 1 (advance-by-1)

$x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)$

เวลาเขียนในรูปแบบที่ใช้ตัวดำเนินการเลื่อนได้ดังนี้

${\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}$

โดยที่ ${\tilde {x}}$ คือฟังก์ชันนิยามโดย

${\tilde {x}}=x(t)\,\forall \,t\in \mathbb {R}$

ซึ่งหลังจากดำเนินการเลื่อนแล้วจะได้ว่า

${\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\,\forall \,t\in \mathbb {R}$

โดยจะเห็นได้ว่า $\mathbb {T} _{1}$ คือตัวดำเนินการที่ทำให้สัญญาณขาเข้าของเวกเตอร์เลื่อนไปข้างหน้า 1 ขั้นของหน่วยเวลา

หากเราเขียนระบบในในรูปของตัวดำเนินการของตัวระบบ (ในที่นี้คือพารามิเตอร์ A, B, C, D ในรูปแบบสมการปริภูมิสถานะนั้นเอง) $\mathbb {H}$ ที่ว่านี้ จะเห็นได้ว่าระบบจะมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลา ถ้าสมการของตัวระบบมีสมบัติการสลับที่กับตัวดำเนินการเลื่อน ดังนี้

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,\,\forall \,r$

นั้นคือถ้าระบบของเราสามารถเขียนได้ในรูปสมการนี้

${\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}$

จะเห็นได้ว่าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลาถ้าเราสามารถดำเนินการระหว่าง $\mathbb {H}$ ต่อ ${\tilde {x}}$ แล้วตามด้วยนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ $\mathbb {T} _{r}$ ที่หลัง หรือ เราสามารถดำเนินการ $\mathbb {T} _{r}$ กับ $\mathbb {H}$ ได้เลย แล้วนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ ${\tilde {x}}$ โดยผลลัทพ์ที่ได้สุดท้าย นั้นจะไม่แต่ต่างกันเลย

โดยการดำเนินการของระบบ $\mathbb {H}$ ก่อนกับ ${\tilde {x}}$ จะได้

$\mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}$

โดยการดำเนินการเลื่อน $\mathbb {T} _{r}$ ต่อ ${\tilde {x}}$ ก่อนจะได้

$\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}$

และถ้าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปรงเชิงเวลาแล้วจะได้ว่า

$\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}$

ดูเพิ่ม

• Finite impulse response
• LTI system theory
• Sheffer sequence
• State space
• System analysis
• Time-variant system
• Shift invariant system

ใน ทฤษฎีระบบควบคุม ดับเบิล อินทิเกรตเตอร์ (double integrator) คือตัวอย่างหนึ่งของแบบจำลองระบบควบคุมอันดับสอง โดยแบบจำลองนี้สามารถอธิบายพลวัตของมวลที่เคลื่อนที่ในปริภูมิหนึ่งมิติภายใต้อิทธิพลของสัญญาณขาเข้าแปรตามเวลา ${\textbf {u}}(t)$.

แบบจำลองสมการสถานะ

สมการสถานะของดับเบิล อนทิ

${\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)$

${\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t).$

According to this model, the output ${\textbf {y}}$ is the second derivative of the input ${\textbf {u}}$, hence the name double integrator.

Transfer function representation

Taking the Laplace transform of the state space input-output equation, we see that the transfer function of the double integrator is given by

${\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{s^{2}}}.$